¿Qué son los ángulos?
En geometría a un ángulo se le conoce como aquella figura que está formada por dos líneas, las cuales se encuentran en un punto final común. En las expresiones matemáticas, los ángulos se representan por el símbolo ∠. Los ángulos son expresados en grados y para hacer su medida se utiliza una regla especializada conocida como transportador.
Las dos líneas que se unen para formar un ángulo son denominadas brazos o lados del ángulo. Mientras tanto que el punto final en común donde las dos líneas se encuentran para formar el ángulo se conoce como vértice. Por otro lado, el ángulo consiste en la parte del plano que está comprendida entre las dos semirrectas que comparten un mismo origen.
Podemos encontrar diferentes tipos de ángulos cuya clasificación se basa en sus medidas. Siempre que exista una figura geométrica creada por dos semirrectas unidas en un punto en común, entonces tendremos un ángulo. Uno de los tipos especiales de ángulos son los ángulos alternos. Estos constan de un conjunto de ángulos no adyacentes a cada lado de una recta llamada transversal.
Conociendo a los ángulos alternos
Cuando una línea recta se cruza con dos o más líneas paralelas, a esta se le conoce como línea o recta transversal. Cuando las líneas coplanares son cortadas por una transversal, entonces se forman algunos ángulos, los cuales son conocidos como ángulos interiores o exteriores. Los ángulos alternos están formados por dos líneas paralelas, las cuales se cruzan por una transversal.
Si consideramos la figura dada, podemos observar que OP Y QR son dos segmentos de líneas paralelas. Mientras tanto, AB es la línea transversal que corta a OP en un punto que llamaremos M y QR en el punto L. Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos son iguales, por lo tanto:
∠1 = ∠7
∠2 = ∠8
∠3 = ∠5
∠4 = ∠6
Tipos de ángulos alternos
Basados en su posición, los ángulos alternos pueden clasificarse en dos tipos, Estos son los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos:
Ángulos alternos interno
Cuando una recta transversal AB corta dos rectas paralelas OP y QR los ángulos alternos internos serán aquellos que se encuentran entre las líneas paralelas. De igual manera, se encuentran a distintos lados de ellas y a distintos lados de la transversal. De la figura que fue descrita previamente, los ángulos alternos internos son ∠3, ∠4, ∠5, ∠6
Ángulos alternos externos
Si una recta transversal AB corta dos rectas paralelas OP y QR los ángulos alternos externos serán aquellos que se encuentran en la parte exterior de las paralelas. De la misma manera, estos estarán a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Según la misma figura, que fue dada arriba los ángulos exteriores alternos son ∠1, ∠2, ∠7, ∠8.
Teorema de los ángulos alternos
Teorema de los ángulos alternos internos
El teorema de los ángulos alternos internos establece que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos resultantes son congruentes. Si tenemos dos rectas paralelas, OP y QR, y una transversal AB, supongamos que los ángulos externos son iguales, es decir, ∠b = ∠c y ∠a = ∠d.
De esta figura podemos observar que los ángulos ∠a y ∠1 son suplementarios, lo que esto quiere decir es que:
∠a + ∠1 = 180°
Para los ángulos ∠3 y ∠d también aplica lo mismo, es decir:
∠3 + ∠d = 180°
Si igualamos ambas expresiones podemos tener que:
∠a + ∠1 = ∠3 + ∠d
Entonces, así como ∠a =∠ d , entonces ∠ 1 =∠3, análogamente, podríamos decir que:
∠b + ∠4 = 180° y ∠2 + ∠c = 180°
Por lo tanto, podemos establecer que:
∠b + ∠4 =∠2 + ∠ c
Y ya que ∠b =∠ c, entonces ∠ 4 =∠2.
Teorema de los ángulos alternos externos
Ahora, el teorema de los ángulos alternos externos establece que cuando dos rectas se cortan por una transversal, los ángulos alternos externos son congruentes. Si tenemos dos rectas paralelas, OP y QR, y una transversal AB que las corta, podemos suponer que los ángulos internos serán iguales. En otras palabras, ∠4 = ∠2 y ∠3 = ∠1.
Nuevamente, de la misma figura podemos observar que los ángulos ∠b y ∠4 son suplementarios, lo que quiere decir que:
∠b + ∠4 = 180°
De la misma manera, los ángulos ∠2 y ∠c cumplen la misma regla:
∠2 + ∠c = 180°
Al igualar ambas expresiones, podemos encontrar que:
∠b + ∠ 4 =∠2 + ∠c
Y como ∠2 y ∠4 son iguales, lo mismo sucede para ∠b y ∠c. Ahora, de una forma análoga:
∠a + ∠1 = 180° y ∠3 + ∠d = 180°
Por lo tanto:
∠a + ∠1 = ∠3 + ∠d
Y como queda establecido que ∠1 = ∠3, entonces ∠a =∠d.
