Binomio al cubo (qué es y cómo resolverlo con ejemplos)

¿Qué es un binomio al cubo?

Los binomios al cubo, también conocido como cubo de un binomio, pertenece a los productos notables, de hecho es una de sus muchas identidades. Los productos notables contienen fórmulas que son de mucha importancia en el desarrollo y resolución de algunos procedimientos matemáticos. 

Lo mismo ocurre con lo del binomio al cubo, debe ser un tema el cual se domina desde sus detalles más mínimos hasta sus complejidades. 

Para poder conocer bien todo los procedimientos que involucran los binomios al cubo, es necesario poder practicar toda la teoría de manera constante. Así, los beneficios serán suficientes también para aplicarse en temas como ecuaciones o factorización. 

Entonces lo principal es comprender que un binomio viene a ser la diferencia que existe entre dos términos que son monomios. 

Los binomios pueden ser de la siguiente manera: 

 

  • a + b 
  • x – y
  • x + 1
  • a – b

 

Cuando nos referimos entonces al binomio al cubo, esta representación varía un poco, tomando entonces otra forma que mostramos a continuación: 

(a + b)³; (x – y)³; (m + n)³

Forma correcta de resolver un binomio al cubo

En principio lo que tenemos que descubrir es cuál será la fórmula del binomio al cubo y para lograr esto es necesario seguir los siguientes pasos.

En el caso que el ejercicio sea el siguiente: 

(a + b)3 

Esta sería una de las formas en las que el ejercicio nos puede ser presentado, aunque también puede aparecer de la siguiente manera: 

(a + b)3 = (a + b) (a+b)2

En este caso es oportuno decir que (a+b)2 es una representación de un binomio al cuadrado por lo que requiere que se desarrolle así: a2 + 2ab + b2.

Entonces se debe reemplazar:

(a + b)3 = (a+b)(a2 + 2ab + b2)

Continuamos el procedimiento pero esta vez se debe aplicar la ley distributiva pero en el producto de los factores. Todo queda de la siguiente manera: 

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3.

En este punto lo que se debe hacer es ordenar todo y de esta manera se obtiene la solución del binomio al cubo que es la siguiente:

= (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

De esta misma forma se pudo haber desarrollado su hubiéramos dejado la primera representación del ejercicio pero en una resta que sería sólo (a – b)3.

Entonces tenemos una fórmula establecida para la resolución de sumas y restas de binomios al cubo, esta fórmula es la siguiente: 

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.

Ejercicios con binomios al cubo

Sumas de binomio al cubo

El proceso para dar con la solución en un ejercicio de suma con binomios al cubo es exactamente el mismo que vimos hace un momento. A continuación presentamos algunos ejemplos ya resueltos de ejercicios de sumas con binomios al cubo. 

Una regla que existe en este tipo de ejercicios puede ayudar mucho a la resolución de cada uno de ellos. Esta regla dice que la suma de un binomio al cubo es equivalente al cubo del primero sumado al triple del cuadrado que se obtiene de la multiplicación del primero con el segundo. A este resultado se le suma entonces el triple del primero y se multiplica por el cuadrado del segundo. A este último resultado se le debe sumar el cubo del segundo.  

Ejercicio 1

Dado el siguiente binomio al cubo (x + 1)3 resolver.

Aplicamos entonces el primer paso de resolución: 

(x + 1)3 = x3 + 3x2.1 + 3.x .12 + 13

Se efectúa la operación y se resuelve de una vez:

= (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Ejercicio 2

Resolver el siguiente binomio al cubo (2m + n)3

Procedemos con el primer paso: 

(2m + n)3 = (2m)3 + 3(2m)2.n + 3.(2m)n2 + n3

Finalmente resolvemos quedándonos de la siguiente manera: 

= (2m + n)3 = 8m3 + 12m2.n + 6n2.m + n3

Ejercicio 3

Resuelve el siguiente binomio: (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

Primer paso: (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

Solución: = x3 + 9×2 + 27x + 27

Restas de binomios al cubo

En las restas de binomios al cubo existe una regla que nos ayuda a resolverlo todo de manera menos compleja En esta regla se establece que la diferencia que existe en un binomio al cubo es equivalente al cubo del primero binomio presentado. A este primer binomio se le debe sumar el triple del primero multiplicado por el siguiente, es decir, el segundo. A este resultado se le resta entonces el cubo del segundo. 

Tenemos entonces la siguiente fórmula: 

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Para hacerlo todo aún más entendible dejamos a continuación algunos ejemplos de restas de binomios al cubo. 

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente binomio (y – 2)3

(y – 2)3 = (y)3 – 3(y)2.2 + 3.y.22 – 2

Se procede entonces a resolver obteniendo así el resultado final:

= (y – 2)3 = y3 – 6y2 + 12y – 8

Ejercicio 2

Resuelve el binomio al cubo que se deja a continuación: (a – 2b)3

Se comienza con la resolción: 

(a – 2b)3 = a3 – 3a2(2b) + 3.a(2b)2 + (2b)3

Finalizamos resolviendo y obteniendo el resultado final: 

= (a – 2b)3 = a3 – 6a2b + 6ab2 + 8b3

Ejercicio 3

Resolver el siguiente binomio: (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

Comenzamos (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =

Se obtiene entonces el siguiente resultado: = 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27.

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