Cómo estudiar la continuidad de una función

Funciones

En las matemáticas, se puede definir a una función (f) como la relación entre dos magnitudes. Cuando se presenta que una magnitud depende de otra, se puede decir que está en función de esa. Esta relación asigna a los elementos del primer conjunto (X) a un elemento del segundo conjunto (Y).

Al primer conjunto del elemento «X» se le conoce como variable independiente, ya que es un valor que está fijado de manera predeterminada.

A f(x) se le llama «imagen de X», y a X se le conoce como «antiimagen de f(x)». En resumen, se le dice función cuando un elemento del conjunto A se corresponde a un solo y único elemento del conjunto B.

Ejemplos

  • A todas las personas se les corresponde una edad cada año.         

Sí, esto es una función debido a que a todas las personas les corresponde una edad cada año. Es una sola imágen.

  • A todas las personas les corresponde el idioma que hablan

Esto no sería una función ya que a cada persona le pueden corresponder diferentes idiomas. Aquí la imagen no es única.

Continuidad de las funciones

Esto es parte de los estudios principales de la función. Se le llama función continua a aquella que su gráfica sigue un solo trazo. 

Y se le llama discontinua cuando el trazo presenta espacios o algún punto donde la gráfica se interrumpe.

Continuidad en un punto

Una función (f) se le dice que es continua en un punto X = a y que cumple con los tres principios.

La función «f» existe en «a», es decir, la imagen de «a».

Hay un límite de «f» en el punto X = a.

La imagen de «a» y el límite de la función llegan a coincidir.

Si se llega a presentar que el punto X = a no cumple ninguno de los principios, se habla de una función discontinua en «a».

Continuidad lateral

Esta estudia si una función (f) es continua en los laterales de un punto X = a. Habla de la continuidad de izquierda o derecha.

Continuidad lateral por la izquierda

La función (f) es continua por la izquierda en «a» si la función (valga la redundancia) se junta por el lateral de la izquierda de «a».

Continuidad lateral por la derecha

Lo opuesto al anterior. La función (f) es continua por la derecha en «a» si la función llega por el lateral derecho de la imagen «a».

Continuidad en un intervalo

Esta estudia si una función es continua en un intervalo. Solo se le conoce como continua en un intervalo (a,b) si es continua en todos sus puntos. Si el caso es lo opuesto, se le llama una función discontinua en «a,b».

  • Intervalo abierto: Es cuando contiene solo los puntos interiores pero no a los extremos de a y b. Siempre se le representa entre paréntesis (a,b).
  • Intervalo cerrado: Este contiene tanto los puntos interiores como en los extremos a y b. Siempre se le representa entre corchetes [a,b].
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