Componentes de un vector

¿Qué es un vector?

Tanto en matemáticas, como en física e ingeniería, un vector euclidiano o simplemente un vector es un objeto geométrico que tiene una magnitud y dirección. A veces también se le conoce como vector espacial o vector geométrico y, según el álgebra de vectores, un vector se puede agregar a otro. 

Un vector es representado a través de un segmento de recta, el cual se encuentra orientado en el espacio euclidiano tridimensional. Los vectores nos permiten realizar una representación de las distintas magnitudes físicas vectoriales.

En física, los vectores corresponden a un segmento de una recta, encontrándose situado en el espacio de un plano, pudiendo ser bidimensional o tridimensional. Para ejemplificar el uso de un vector, una de las magnitudes en las cuales se utilizan este tipo de objetos es en la medida de la velocidad.

En este tipo de casos no basta con indicar cuanto es la velocidad de un objeto en un espacio, sino también hacia dónde se dirige. La fuerza actuando sobre un objeto también puede ser representada con el uso de vectores.

Partes de un vector

El módulo de un vector hace referencia a la longitud que este segmento posee y es expresado en términos de un valor y la unidad de la magnitud. La dirección no es más que el ángulo del vector con respecto al eje x. Por último, el sentido es la orientación que tiene el segmento y es determinado desde el origen al extremo del vector, pudiendo ser positivo o negativo.

Para denotar a un vector en un plano se utilizan dos letras mayúsculas con una flecha hacia la derecha encima de estas letras. Un ejemplo de esto es la expresión AB, la cual indica el punto de origen y cuál es su extremo. Es decir, “A” es el origen del vector en este caso, y “B” es el extremo de este segmento.

En la gráfica de un vector, su extremo es representado con la punta de una flecha, indicando hacia qué lado se dirige el vector. El sentido de un vector es de gran importancia, pues a la hora de un cálculo, este nos ayuda a determinar qué tipo de operación debemos realizar.

¿Cuáles son los componentes de un vector?

Las proyecciones de un vector sobre el eje coordenado son las que se conocen como componentes de un vector. Si consideramos un sistema de coordenadas cartesianas, podemos trazar un vector a quien llamaremos A. El primer componente será la sombra de este vector en el eje x, a quien llamaremos Ax.. Por otro lado, la proyección del vector 𝐴 en el eje y sería el componente “y”, denominado en este caso como Ay.

Si realizamos una suma vectorial de ambas proyecciones, podremos obtener como resultado al vector A. Por lo tanto, podríamos expresar en una fórmula que: 

Ax+Ay=A

En un sistema coordenado de dos dimensiones, los componentes de un vector estarán separados entre el componente x y el componente y. En un espacio euclídeo tridimensional, un vector puede ser representado como la combinación lineal de tres vectores unitarios. Cada uno de estos vectores son perpendiculares entre sí y constituyen aquello que se conoce como una base vectorial.

En las coordenadas cartesianas, los vectores unitarios pueden ser representados por “i”, “j”, y “k”, siendo paralelas a los ejes x, y, z. La notación de los componentes del vector de una base predeterminada puede escribirse de la siguiente manera: 

A=(Ax,Ay,Az)

Aquí, los componentes se encuentran contenidos entre paréntesis y separados cada uno por comas. Estos componentes también pueden expresarse como la combinación de vectores unitarios definidos sobre una base vectorial. Por lo tanto, en un sistema de coordenadas cartesiano, la expresión sería la siguiente: 

A=Axi + Ay j + Az k)

Estas son representaciones que guardan una equivalencia entre sí, donde Ax,Ay,Az son componentes de un vector cuyos valores pertenecen a los números reales.

Ejercicios con los componentes de un vector

Para poder realizar el cálculo de los componentes de un vector primero es necesario conocer las coordenadas de su origen y extremo.  Considerando un vector  AB,podemos definir a las coordenadas de cada punto de la siguiente manera:

Para las coordenadas del punto de origen del vector:

A=(X1,Y1)

Para las coordenadas del punto del extremo del vector tenemos:

B=(X2,Y2)

Entonces, para el cálculo de los componentes del vector solo necesitamos restar las coordenadas del extremo del vector las coordenadas del origen de la siguiente manera: 

AB=(X2 – X1 , Y2Y1)

Para calcular el componente x solo debemos realizar la resta de las coordenadas “x” del punto del extremo menos las “x” del origen. De igual manera para el componente y, restamos sus coordenadas “y” en el extremo menos las coordenadas “y” del origen.

Por ejemplo, supongamos que las coordenadas del origen son A (2,6)y las del punto del extremo son B (4,10). Ahora solo debemos sustituir los valores en la fórmula previamente establecida para el cálculo de los componentes, quedando de la siguiente manera:

AB=( 4-2 , 10-6)

AB=(2,4)

En el caso donde el vector está expresado en un espacio tridimensional solamente se debe agregar un conjunto más de coordenadas a la fórmula anterior. Los componentes de vector de en tres dimensiones se vería expresado de la siguiente manera:

AB=(X,Y,Z)

Para el cálculo de los tres componentes debemos tener en cuenta que ahora son tres coordenadas, es decir: 

A=(X1,Y1,Z1)

B=(X2,Y2,Z2)

De tal manera que la fórmula para realizar el cálculo estaría estructurada tal que:

AB=(X2 – X1 , Y2Y1, Z2Z1)

A continuación, verás un ejercicio de cálculo de componentes de un vector en un espacio tridimensional. Nuevamente, necesitamos las coordenadas de cada eje para realizar el cálculo de los componentes, es decir, para A (2,6,4) y para B (4,10,6). Sustituimos los valores en la fórmula: 

AB=( 4-2 , 10-6, 6 – 4)

AB=(2,4,2)

De esta manera podemos calcular el valor de los componentes dependiendo del número de dimensiones que tenga el espacio en el que se encuentran expresados.

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