Definición de binomio al cuadrado y ejemplos fáciles

¿Qué es un binomio al cuadrado?

Los binomios son muy comunes en las operaciones matemáticas, aunque no son algo que vemos desde la primaria, sino cuando hemos superado las operaciones que son básicas y fundamentales.

En las operaciones de binomios podemos ver que existen dos términos los cuales se deben restar o sumar. Otra cosa que notaremos es que los términos de un binomio pueden ser negativos o positivos. Por ejemplo, un binomio se representa de la siguiente manera: (a + b)

Ahora bien, cuando hablamos de un binomio al cuadrado, podemos apreciar que hay una particularidad que no se puede pasar desapercibida. Esta es que el binomio se encuentra elevado al cuadrado. Estos se representan como se muestra a continuación: (a+ b)2.

Como una definición más exacta, podemos decir entonces que un binomio al cuadrado viene a ser una suma que se suma por sí misma. Esto quiere decir que si se nos presenta el binomio a + b,  entonces su cuadrado viene siendo (a +b) (a + b) y su representación entonces viene siendo (a + b)2. En este tipo de binomios podemos observar que siempre el resultado tendrá la misma estructura.

Al igual que en las demás operaciones matemáticas, lo que el binomio al cuadrado busca, es simplificar ciertas operaciones. De esta forma se puede obtener un resultado acertado, si se toman en cuenta una serie de pasos. 

Cómo resolver un binomio al cuadrado

Antes de explicar el paso a paso de cómo se resuelve un binomio al cuadrado, es necesario comprender que su resultado siempre va a ser un trinomio cuadrado perfecto. Se conoce con este nombre ya que, al obtener su raíz, podemos ver que es un binomio. 

Para obtener este resultado, es necesario proceder a multiplicar cada uno de los términos que forman el primer término por los del segundo. En el caso de los términos comunes es necesario entonces sumarlos. 

Por ejemplo si tenemos el siguiente binomio al cuadrado (x + z)2 entonces la multiplicación se debe hacer como se muestra a continuación: 

(x+z)2 = (x+z)(x+z) = (x)(x)+(x)(z)+(z)(x)+(z)(z)= x2+xz+xz+z2 = x2+2xz+z2

En este binomio vimos que el signo que se presenta es positivo, por lo que se trata de una suma, en el caso que se trate de una resta entonces el binomio se representa así (a – b) y se resuelve como se muestra enseguida: 

(x–z)2 = (x–z)(x–z) = (x)(x)+(x)( –z)+( –z)(x)+(z)(z)= x2–xz–xz+z2 = x2–2xz+z2

En este punto debemos recordar que en todo número que esté elevado al cuadrado, el resultado siempre va a ser un número positivo. 

Por ejemplo(a) (a) = a2 ; (-a)(-a)=a2.

Ahora cuando hablamos de un exponente que se encuentra elevado a alguna potencia, entonces se debe multiplicar por esa misma potencia por la que es elevado. Estonces, si tenemos binomios al cuadrado, se deben multiplicar por 2. 

Entonces si tenemos, por ejemplo, (a3)2 = a6 ; (-b4)2 = b8

Resolver binomio al cuadrado paso a paso

Siendo el resultado de un binomio al cuadrado un trinomio cuadrado perfecto, entonces estamos hablando de una operación de producto notable.

Este tipo de operaciones tiene una forma muy fácil de resolver ya que se cuenta con el método de la inspección. Este método nos establece algunas reglas con las que podemos dar con el resultado sin necesidad de hacer toda la operación completa. 

Para el binomio al cuadrado, el método de inspección, se establecen sólo tres reglas o pasos a seguir que son los siguientes: 

  • Se escribe el cuadrado que pertenece al primero de los términos.
  • Continuamos sumando el doble del primer término por el segundo.
  • Por último se procede a sumar el cuadrado que pertenece al segundo término.

Ejemplo 1

Resolver el siguiente binomio aplicando el método de inspección:

(x + z)2

Comenzamos entonces aplicando la primera regla que es, escribir a continuación el cuadrado que está en el primer término: x2.

Se continua entonces sumando el doble del primero por el término que está de segundo: 2xz.

Por último entonces se procede a sumar el cuadrado que está en el segundo término: z2.

Así podemos decir entonces que el resultado es el siguiente: x2 + 2xz + z2.

Ejemplo 2

A continuación presentamos el mismo ejemplo anterior pero con el signo negativo. 

Resolver el binomio que está a continuación aplicando el método de inspección:

(x – z)2

Aplicamos la primera regla o el primer paso tomando el cuadrado que aparece en el primer término: x2.

Seguimos con el segundo donde sumamos el doble del primer término por el segundo: -2xz.

Terminamos sumando también el cuadrado que está en el segundo término: z2.

De esta manera obtenemos el siguiente resultado: x2+(–2xz)+z2 = x2–2xz+z2.

En este ejemplo vemos que cuando se hace la multiplicación del primer término por el segundo, el resultado que se obtiene puede que sea negativo.

En este caso sería equivalente a la resta directa del resultado. Debemos tener presente que al sumar un número que sea negativo y hacer una reducción de los signos, el resultado siempre va a ser restar el número. 

Ejemplo 3 

Resolver el siguiente binomio al cuadrado: (4x3 – 2y2)2.

Siguiendo los pasos que se vieron anteriormente, podemos proceder a resolver.

(4x3)2 = 16x6

2 [(4x3)(–2y2)] = –16x3y2

(2y2)2 = 4y4

Entonces el resultado sería: 

(4x3 – 2y2)2 = 16x6 –16x3y2+ 4y4.

 

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