Ecuación lineal

¿Qué es una ecuación?

En matemáticas, una ecuación consiste en una igualdad compuesta por dos expresiones algebraicas, cada una de ellas denominada “miembros”. Estos miembros se encuentran separados el uno del otro por un signo “igual” (=). En ellos podemos encontrar elementos que se conocen y otros desconocidos llamados incógnitas.

Aquellos valores que se conocen pueden ser números, coeficientes o incluso constantes. Las incógnitas son representadas con el uso de letras, y estas son los valores que se pretenden hallar al resolver las ecuaciones. Dependiendo de la estructura con la cual cuente la ecuación, esta puede ser clasificada en ciertos grupos.

La ecuación lineal

La ecuación lineal, también llamada ecuación de primer grado, es aquella que presenta una igualdad entre una o más variables a la primera potencia. Además, no existen productos dentro de la ecuación, por lo que solo se consideran las operaciones de suma y resta para su resolución. La ecuación de primer grado se define de la siguiente manera: 

a1x1 + +anxn + b = 0

La sección de la ecuación x1 , , xn representa todas las variables o incógnitas que pueden existir dentro de una ecuación lineal. Por otro lado, b, a1 , , an son los coeficientes que suelen ser números reales. Es posible considerar a estos coeficientes como parámetros de la ecuación. Podrían ser expresiones arbitrarias, siempre y cuando no contengan ninguna de las variables de la ecuación. 

Las ecuaciones lineales son utilizadas con mayor frecuencia en todas las matemáticas y las diferentes aplicaciones en física e ingeniería. Esto es así debido a que en gran parte los sistemas no lineales suelen aproximarse bien mediante ecuaciones lineales. 

Tipos de ecuación lineal 

Una ecuación lineal puede contar con diferentes estructuras, aun siguiendo los parámetros establecidos previamente. Los tipos de ecuaciones lineales de de primer grado van a depender en su mayoría de la cantidad de variables o incógnitas con la que cuente. 

Ecuaciones lineales con una incógnita

Con mayor frecuencia, cuando se habla de ecuaciones lineales se refieren a ecuaciones que solamente contienen una variable. En este tipo de casos, la estructura de la ecuación sería la siguiente:

ax + b = 0

Y esta cuenta con una única solución:

x = –ba

Recordemos que “a” y “b” representan en la ecuación a los coeficientes, que generalmente son números reales. La letra “x” representa a la incógnita de la ecuación, la cual debe ser hallada al resolverse las expresiones algebraicas. Ejemplo de  este tipo de ecuaciones son los siguientes:

5x + 12 = 47

2x + 6 =32

En ambas ecuaciones podemos observar que existe solamente una incógnita, y también podemos determinar otros factores en cada miembro de las ecuaciones. En la primera ecuación, el primer miembro es 5x + 12,y su segundo miembro es 47. En el segundo caso, 2x + 6 constituye el primer miembro, a la izquierda de la igualdad, y 32 es el segundo. 

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Cuando son incorporadas dos variables o incógnitas en una ecuación, entonces se establece una relación matemática entre ellas. Generalmente este tipo de ecuaciones lineales es representada de la siguiente manera:

y = mx + n

En esta ecuación la letra «m» representa la pendiente, mientras que el valor de «n» es el determinante para el punto donde la recta corta al eje Y en un plano cartesiano. Debido a que es un tipo de ecuación lineal, esta es representada como una recta por cada incógnita. Ejemplo de esta clase de ecuaciones lineales son los siguientes: 

8x + 2y = 5

3x + 8y – 2 = 4x – 3

En la primera ecuación podemos observar que en el primer miembro hay dos incógnitas: «x» y «y». Ambas se encuentran acompañadas por coeficientes, y el segundo miembro también encontramos otro término no dependiente de una variable.

Para la segunda ecuación existen variables en ambos términos. De igual manera, podemos hallar números o términos dependientes e independientes. Siempre que existan dos tipos de variables se pueden considerar como ecuaciones lineales de dos incógnitas

Solución de una ecuación lineal

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor que debe tener la incógnita para así cumplir con la igualdad. Para llegar a la solución de estas operaciones se deben seguir un procedimiento o pasos que nos aseguran que el resultado es correcto. Cabe destacar que las ecuaciones de una variable se resuelven de maneras diferentes a aquellas que tienen dos o más. 

Pasos para resolver una ecuación lineal simple

Para resolver ecuaciones lineales con una sola incógnita es necesario seguir ciertos pasos. A continuación explicaremos cada uno de ellos haciendo uso de la siguiente ecuación:

8x + 6 = 42 – 4x

  • Lo primero que debemos realizar en este tipo de ecuaciones es agrupar las incógnitas en el primer miembro. Recordemos que cuando sucede un cambio de miembro a miembro, los signos de los términos deben cambiar. Si es negativo, pasa a positivo y viceversa.

8x + 4x = 42 – 6

  • Seguidamente, las operaciones respectivas son realizadas en cada miembro de la ecuación. Como se observa en este ejemplo, en el primer miembro existe una suma, mientras que en el segundo hay una resta. El resultado de las operaciones sería el siguiente: 

12x = 36

  • Posteriormente, es necesario despejar la incógnita, la cual está representada en este caso por una “x”.

x = 3612

  • Ahora solamente queda resolver la fracción para obtener el resultado de la ecuación.

x =3

Pasos para resolver una ecuación lineal con paréntesis

Otro caso puede ser aquel donde la ecuación cuenta con dos o más términos encerrados entre paréntesis. Lo que esto nos indica es que todo lo que está dentro de ellos debe ser multiplicado por el número que se encuentra delante. Utilizaremos la próxima ecuación para explicar el siguiente ejemplo:

4 (4 + 4x) = 32

Para estas ecuaciones solo debemos seguir los siguientes pasos:

  • El primer paso es eliminar los paréntesis de la ecuación. Para lograr esto, es necesario multiplicar los términos que se encuentran dentro por el número que está delante de ellos. 

16 + 16x = 32

  • Habiendo resuelto la multiplicación podemos observar que ahora tenemos una simple ecuación de primer grado con una incógnita. Ahora procedemos como lo haríamos normalmente, siendo el siguiente paso la agrupación de términos semejantes en distintos miembros. 

16x = 32 – 16

  • Ahora realizamos las operaciones que tengamos disponibles, en este caso, una suma en el segundo miembro de la ecuación.

16x = 16

  • Se realiza el despeje de la incógnita, nuevamente representada en esta ecuación con una “x”.

x = 1616

  • Ya solo queda resolver la división que se ha formado al despejar la incógnita para así conseguir su valor. 

x = 1

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