Ecuaciones cuadráticas (qué son, tipos y cómo resolverlas con ejemplos)

Las ecuaciones cuadráticas

Se conocen también como ecuaciones de segundo grado, se trata de una ecuación en la que siempre, al simplificarse, su mayor exponente será el 2, esto en el caso de la incógnita. Entonces podemos decir que en una ecuación que se presente con la siguiente expresión ax2 + bx + c = 0 va a resultar ser una ecuación cuadrática o de segundo grado. 

Entender una ecuación cuadrática es muy simple, por ejemplo en el caso que acabamos de ver se encuentra la x que simboliza la variable. En el caso de los símbolos a, b y c, resultan estar representando al coeficiente.Es importante que se tenga presente que los coeficientes pueden ser de cualquier valor, sin incluir que  a = 0. 

Las ecuaciones cuadráticas en la historia

Son ecuaciones que se conocen desde tiempos antiguos en la Babilonia donde se dieron a conocer algunos algoritmos que ayudaban a resolver este tipo de ecuaciones. Por su parte en Grecia Fue Diofanto de Alejandría, un matemático realizó un procedimiento que con el que se podían resolver las ecuaciones de segundo grado.

Sin embargo su aporte, aunque fue importante, no resolvía todas las ecuaciones sino que aportaba una de las soluciones. Fue el matemático Al-Juarismi el que logró desarrollar, en el siglo IX, un trabajo en el que explicaba una solución completa para éstas ecuaciones.

Con el paso de los años los estudiosos matemáticos se han enfrentado a diferentes retos, algunos más complicados que otros.

Todo eso ha hecho que hoy existan diferentes métodos para resolver estas ecuaciones. Lo que hace que sea un tema muy fácil de comprender y de explicar lo que es muy importante en todas las operaciones matemáticas. 

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas completas

SOn esas en las que el término que se considera principal o cuadrático carece de coeficiente. En este caso se sobreentiende que el coeficiente es 1. Esta ecuación se debe escribir de la siguiente manera: x2 + px + q = 0.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

  • Las que no tienen término independiente se representan de la siguiente forma: ax2 + bx = x(ax + b) = 0. En esta vemos que la raíz es: x = 0 ó ax + b = 0. Esto quiere decir que es x1 = 0; x2 = – ba 
  • Las que no tienen término lineal se representan de la siguiente forma: ax2 + c = 0. En estas ecuaciones las raíces pueden ser imaginarios puros opuestos o reales opuestos. 

Completa con coeficiente lineal par

Este tipo de ecuaciones cuadráticas son las que aparecen con un coeficiente que se conoce como coeficiente de primer grado. Además contiene un número par 2m  toda la ecuación se debe representar de la siguiente manera: ax2 + 2mx + n = 0.

Completa reducida con coeficiente lineal impar

Este es un tipo de ecuación de segundo grado que se presenta con un coeficiente principal de 1. Como el coeficiente lineal vemos que es un número par, se debe representar de la siguiente manera:  x2 + 2mx + n = 0. En este caso su raíz es la siguiente x1,2 = -m m2 -n

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

 Entre todos los métodos que existen para resolver ecuaciones de segundo grado, a continuación explicaremos el paso a paso del que se considera más básico. 

  • Paso 1: Primero debes identificar cuál es el coeficiente que tiene esa ecuación. Es importante poderlos identificar como a, b y c, así será mucho más fácil todo el proceso. 
  • Paso 2: Aquí debes calcular cuál es el discriminante que viene a ser ese valor que existe justo debajo del radical en la fórmula de resolución. 
  • Paso 3: Ahora lo que sigue es analizar ese resultado que dio el discriminante pues es el que te dará la oportunidad de saber tiene solución. Aunque es importante recordar que puede tener una, dos o no tener solución alguna. 
  • Paso 4: Aplica la fórmula ahora. Se trata de la fórmula cuadrática que te ayudará a obtener las soluciones. 
  • Paso 5: Al final solo debes simplificar la o las soluciones y termina todo el ejercicio explicando bien el resultado. Esto se hace con todas las soluciones que la operación pueda tener o incluso si no tiene solución. 

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas

Existen varias maneras o métodos que se pueden aplicar para resolver una ecuación de segundo grado. La decisión de si se aplica uno u otro método va a depender enteramente del tipo de ecuación que se necesite resolver. A continuación se explican algunos de los  diferentes métodos.

Método de factorización

EN este caso para poder aplicar este método, la ecuación cuadrática debe estar totalmente igualada a cero (0). Entonces después se puede continuar expresando el otro lado de la misma ecuación. Este es el que no es cero, pero en este caso presentarlo como uno de los productos de los factores. 

Por ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0  a = 1, b 0 , c = -8.

En este caso, al ser un método realmente sencillo, hay que tener en cuenta que no se puede aplicar en todos los casos. Esto es porque el mismo método se encuentra un poco limitado solo a coeficientes enteros. 

Método de raíz cuadrada

Para aplicar este método en la resolución de ecuaciones de segundo grado, es importante conocer cómo se debe usar su propiedad. Esta es la propiedad de la raíz cuadrada que dice que en todo los casos para un número real K, la ecuación será x2 = k es equivalente. 

Método completando el cuadrado

Este método conlleva el encontrar un tercer término de un trinomio cuadrado perfecto. Esto se hace cuando se conoce los dos que se encuentran delante. Los trinomios son de la siguiente forma: x2 + bx + ?

Ese último término en un trinomio de cuadrado perfecto es el que pertenece al cuadrado de la mitad que pertenece al coeficiente del mismo término del medio. Entonces se tienen dos cuadrados perfectos en los que los dos primeros términos serían x2 + bx es: 

X2 + bx + b22.

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