Ejercicios de funciones lineales (con respuesta)

Las funciones lineales

Las funciones, independientemente del tipo que sean, son operaciones matemáticas en las que se establece cierta relación entre sus componentes.

Específicamente, en una función, el valor de un conjunto va a depender del valor del otro. Son operaciones que nos permiten, entre otras cosas, observar cómo se comporta un valor cuando el otro cambia, siendo totalmente útiles en procesos experimentales.

Existen varios tipos de funciones y, entre todas ellas, existe también la que conocemos como función lineal. Se trata pues de una que se denomina como una polinómica de primer grado representada de esta manera f(x) = mx + b. Si su representación es totalmente gráfica, entonces se dice que se escribe con sólo una línea recta. 

Es necesario que recordemos los polinomios de primer grado, en ellos vemos una variable la cual es elevada a la primera potencia. En los casos que la potencia sea 1 entonces ésta no se debe escribir.

Entonces en la representación de las funciones lineales tenemos que m viene a ser la pendiente recta. En el caso de la b esta viene a representar el punto del corte que tiene la recta con el eje, es decir, la constante. Por último, cuando vemos la x esta representa la variable. 

Existen algunos casos en los que la m se modifica, entonces la pendiente también debe ser modificada. Es decir, que debe ser modificada lo que es la inclinación que tiene la recta pudiendo moverse hacia arriba o hacia abajo. 

Tipos de funciones lineales

En las funciones lineales, se pueden presentar en tres tipos que vienen a ser las siguientes. 

  • Funciones lineales crecientes: Estas son las que se presentan con un valor de m siendo superior a 0.
  • Funciones lineales decrecientes: Son las que se presentan con un valor de m siendo mucho menor a valor de 0.
  • Funciones lineales constantes: Aquellas enlas que podemos apreciar que la m tiene un valor que es exactamente igual que 0. En este caso la recta en la gráfica viene a ser paralela al eje x.

Ejercicios de funciones lineales resueltos paso a paso 

Ejercicio 1

Calcule Los puntos de corte de los ejes y represente esta función. ¿cuál es la pendiente de la recta?

y = 4 – 2x

Solución

En la recta se cumple una pendiente que es m = -2. Entonces, al ser negativa,   se considera que es una recta del tipo decreciente. Cuando tenemos x = 0, podemos comprender que la recta viene a cortar el eje y exactamente en el punto (0,4).

Cuando tenemos que y = 0, entonces la recta debe cortar al eje x. Por lo que es necesario resolver la siguiente ecuación.

4 -2x = 0

2x = 4

X = 4/2 = 2

Esto nos da como resultado que el punto donde se debe realizar el corte es exactamente (2,0)

Ahora, teniendo claro cuáles son los dos punto que se hacen en la recta, podemos finalizar haciendo su representación gráfica.

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Ejercicio 2 

En el caso que exista, descubrir cuál es el punto de corte en la recta y determinar si son rectas perpendiculares o paralelas:

Y = x/2 + 3

Y = 2x – 3

Solución

Lo primero que hay que hacer es igualar la función para poder proceder a lo que es el cálculo del punto del corte. 

x/2 + 3 = 2x – 3

Teniendo esta ecuación hay que proceder a resolverla de la siguiente manera:

x/2 + 3 = 2x -3

x/2 -2x = -3 -3

x/2 -2x = -6

X -4x = -12

-3x = -12

X = 4

Ahora lo que sigue es poder calcular el valor de y a partir del valor que tiene ahora x.

y = 2x -3 =

= 2 . 4 -3 =

= 5

Obtenemos como resultado que las dos rectas se deben cortar justo en el punto (4,5).

En este caso estamos frente a unas rectas que no pueden ser consideradas paralelas porque se les realiza un corte. Sin embargo, tampoco se pueden tomar como rectas perpendiculares pues sus pendientes se encuentran todas con el signo +, es decir, que son positivos. 

Su representación gráfica es la siguiente.

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Ejercicio 3

En las siguientes funciones:

y = x + 5 / 3

y = x / 3 -1

Encontrar el punto de corte en las rectas y determinar si se trata de paralelas o perpendiculares.

Solución

Lo primero que vamos a notar es  que en este caso las dos rectas tienen la misma pendiente:

m = 1 / 3.

Esto confirma que se trata de un par de rectas que son paralelas pues no presentan corte alguno, a no ser que sean parte de la misma recta. 

Como un ejemplo de esto tenemos el punto (1,2) el cual es un punto perteneciente a la función que vimos de primera, pero la misma no forma parte de la segunda. Esto quiere decir que no forman parte entonces de la misma recta. 

Esto se representa gráficamente como se muestra a continuación:

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Ejercicio 4

A continuación se presentan las pendientes pertenecientes a tres rectas diferentes, estas son: 

m1 = 1

m2 = -2

m3 = 3.

Determinar entre ellas cuál es la que tiene un crecimiento más acelerado y cuál es una recta decreciente. 

Solución

En estas funciones se puede apreciar que existe una que es decreciente. Estas es la que, en su pendiente, tiene el signo negativo: m2 = -2.

En las dos rectas que quedan se determina que ambas son rectas decrecientes. Sin embargo en la recta m3 = 3 se muestra un crecimiento mucho más acelerado que en el caso de la recta m1 = 1.

 

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