Cuando existe alguna desigualdad entre dos expresiones y además también tiene una o más incógnitas, a esto se le conoce como una inecuación. Para resolver una de estas hay que encontrar los valores de las incógnitas en los que se cumple la desigualdad. Ahora, cuando se dice que una inecuación es racional es porque en la función hay intervalos que son positivos y otros que son negativos. A simple vista cuesta un poco definir cuál de los valores es negativo y cual es positivo por lo que hay que resolverla e ir descubriendo el resultado final.
La resolución de una inecuación racional se logra al obtener el valor de x que cumple con la desigualdad, es decir que hay que lograr obtener todos los tramos en los que dicha función es positiva o negativa, según la desigualdad que presente. Entonces, para lograr este resultado hay que proceder a obtener el valor de X, después de esto entonces hay que representar cada punto en una recta real, luego se comienza a calcular qué signo tendrá cada intervalo y la solución será el rango de los valores que cumplan la desigualdad.
Resolver inecuaciones racionales paso a paso
Para poder comprender un poco mejor cómo es la manera de resolver un ejercicio de inecuación racional, creemos que la mejor manera es resolviendo detalladamente un ejercicio completo, pero antes vamos a recordar algunas cosas que debemos tener presente al momento de resolver los ejercicios:
No se debe multiplicar en cruz, este puede que sea una forma que resulte fácil en otras operaciones matemáticas que sí la permiten pero, en el caso de las inecuaciones racionales no es recomendable.
Al momento de determinar si el intervalo es cerrado o abierto hay que recordar que el denominador, en todos los casos, va a resultar ser abierto, en cambio el numerador es el que depende de la desigualdad que se encuentre en las operaciones por lo que en ocasiones será abierto y en otras será cerrado.
Lo último es recordar que todas las operaciones matemáticas deben hacerse de manera minuciosa y detallada por lo que se requiere de mucha paciencia, un error en un signo o en un número puede significar un resultado erróneo que es algo que no se desea. Entonces lo recomendable es, una vez resuelta toda la inecuación, revisar todo el procedimiento para asegurarnos que todo está resuelto de la manera correcta.
Ahora, teniendo esto muy claro, vamos a ver un ejemplo paso a paso en el cual aplicaremos todos los pasos y consejos que se nombraron anteriormente:
En este caso en ejercicio consiste en encontrar en qué punto la función cambia de signo para poder calcular los intervalos en los que la función racional resulta ser menor a cero, mejor dicho, los intervalos donde es negativa la función racional.
Entonces lo primero que hay que hacer es igualar el numerador a cero:
X - 2 = 0
Ahora se procede a despejar la X:
X = 2
Luego se iguala el denominador a cero:
X + 2 = 0
Despejamos entonces la X:
X = -2
En este punto hay que hacer una representación de los valores obtenidos utilizando una recta real:
En este caso no se pueden tomar ninguno de los dos valores porque, en el caso del resultado al igualar el numerador a cero, vemos que queda sin signo igual y en el caso del resultado de igualar el denominador a cero, nunca se toma porque el denominador nunca puede ser cero, esto solo en casos de inecuaciones racionales. Por todo esto los dos intervalos quedan huecos. Sin embargo todavía hay que obtener el signo de los intervalos y conseguirle el valor a x que pertenezca a cada tramo por lo que le damos a la X el valor de -· y procedemos a operar:
Podemos ver que el resultado que obtuvimos es 5 por lo que es, lógicamente, mayor que cero, por lo que podemos comprender que cualquier valor de x que se encuentre en este tramo causará que la función resulte positiva como en este intervalo que vemos que la función resulta positiva.
Continuamos entonces con el tramo que se encuentra entre el -2 y el 2, le damos a la X el valor de 0, la sustituimos en la función y procedemos a operar:
-1 es el resultado que se obtiene por lo que es, lógicamente, menor que cero, entonces comprendemos que cualquier valor de X que se encuentre en este tramo causará que la función tenga un resultado negativo, como en este caso ue vemos que la función resultó ser negativa.
Para finalizar procedemos con el tramo que se encuentra el lado derecho del 2, aquì le damos a X el valor de 3, sustituimos en la función y procedemos a operar:
Podemos ver que el valor que obtiene la función es mayor que cero, entonces la función, en este tramo, será positiva. Lo que sigue entonces es representar cada signo de cada tramo en una recta real, que sería como la vemos a continuación:
Entonces en conclusión decimos que el resultado o solución final de la inecuación son los valores de X que son los que causan que la función sea menor que cero, lo mismo que decir los tramos negativos de la recta real. En este sentido la solución es el intervalo que se sabe desde -2 hasta 2 y se representa de la siguiente manera: (-2,2)
Juan del Olmo Pérez es un profesor universitario Doctorado en Literatura Universal por la UAB y un Postgrado en Ciencias Medioambientales por la UC. En sus ratos libres contribuye a ayudar a los estudiantes a mejorar sus procesos de aprendizaje de manera altruista.
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