Ejercicios de Polinomios (Ejemplos y Respuestas)

Polinomios

En un concepto básico se puede entender que un polinomio es una operación matemática que puede incluir expresiones de sumas, multiplicaciones y restas que se presentan de manera ordenada y también incluyen variables, constantes y exponentes. Puede que en un mismo polinomio se observen varias variables como X, Y, Z, varias constantes como números enteros o fracciones y algunos exponentes como los números enteros positivos.

Ejercicios de polinomios paso a paso

Suma y resta de polinomios

Suma y resta los siguientes polinomios:

P(x) = 2×2 -5x + 3

Q(x) = x2 + 2x-4

Comenzamos por la suma de polinomios:

P(x) + Q(x) =

Lo primero que hay que hacer es sustituir P(x) y Q(x) por los términos correspondientes quedando representada de la siguiente manera:

= (2x2 – 5 x+3) + (x2 + 2x -4) =

Entonces se procede a sumar y restar cada término que es semejante entre sí y el resultado que arroja sería:

= 3x2 – 3x -1

Ahora veremos cómo resolver la resta de polinomios:

P(x) – Q(x) =

Se sustituye, igual que en la operación anterior, P(x) y Q(x) por los términos correspondientes, quedando representada de la siguiente manera:

= (2x2 – 5 x+3) – (x2 + 2x -4) =

En este punto se debe proceder a eliminar los paréntesis, tomando en cuenta que, delante de uno de los paréntesis, hay un signo menos, por esto los signos que se encuentran dentro del paréntesis tienen que cambiar ya que es igual a una multiplicación por -1:

= 2x2 – 5x + 3 – x2 – 2x + 4 =

Ahora que los paréntesis han desaparecido, se continúa con la suma y resta para obtener el resultado final que, en este caso, es el siguiente:

= x2 – 7x + 7

A continuación un ejemplo de suma y resta de polinomios ya resuelto:

De los siguientes polinomios:

  • P(x) = x4 − 2x² − 6x − 1
  • Q(x) = x³ − 6x² + 4
  • R(x) = 2×4 − 2x − 2

Calcular:

  • P(x) + Q(x) − R(x)
  • P(x) + 2 Q(x) − R(x)
  • Q(x) + R(x) − P(x)

Se procede a calcular:

  • P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + x³ − 2x² − 6x² − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x4 + x³ − 8x² − 4x + 5

  • P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x² − 6x − 1) + 2 · (x³ − 6x² + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x² − 6x − 1 + 2x³ − 12x² + 8 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + 2x³ − 2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x4 + 2x³ − 14x² − 4x + 9

Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + (2x4 − 2x − 2) − (x4 − 2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x4 −2x − 2 − x4 + 2x² + 6x + 1=

= 2x4 − x4 + x³ − 6x² + 2x² − 2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x4 + x³ − 4x² + 4x + 3

Multiplicación de polinomios

En este caso vamos a realizar una multiplicación de polinomios explicando detalladamente paso a paso. Primero hay que multiplicar el primero de los términos de un polinomio por todos los demás términos del otro polinomio y esta operación la vamos a repetir con el segundo y el tercer término de los siguientes polinomios que se muestran en el ejercicio. Por ejemplo:

(a + 3)(a-4) =

Comenzamos con la multiplicación del primer término por los demás términos que pertenecen al segundo polinomio:

(a+3)(a-4) = a2

(a+3)(a-4) = a2 -4a

Se repite la multiplicación pero ahora con el segundo término del polinomio uno por los términos del polinomio dos:

(a+3)(a-4) = a2 – 4a + 3a

(a+3)(a-4) = a2 – 4a + 3a – 12 =

Se continúa agrupando todos los términos que son semejantes obteniendo así el resultado:

= a2 -a -12

A continuación unos ejemplos de multiplicaciones de polinomios ya resueltas:

(x4 − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3)

Solución:

(x4 − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

x4 − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

= x6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x³ − 6x² + 2x² − 4x + 6=

= x6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x + 6 =

= x6 −2x5 + x4 + 4x³ − 4x² − 4x + 6

(3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

Solución:

(3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x³ + 6x² − 10x4 − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x³ + 11x² − 10x

(2x² − 5x + 6) · (3x4 − 5x³ − 6 x² + 4x − 3) =

Solución:

(2x² − 5x + 6) · (3×4 − 5x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6 x 6 − 10 x 5 − 12 x 4 + 8x³ − 6x² −

− 15 x 5 + 25 x 4 + 30x³ − 20x² + 15x +

+18 x 4 − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6 x 6 − 10 x 5 − 15 x 5 − 12 x 4 + 25 x 4 + 18 x 4 +

+8x³ − 30x³ + 30x³ − 6x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6 x 6 − 25 x 5 + 31 x 4 + 8x³ − 62x² + 39x − 18

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