Ejercicios de Rango de Matrices (con Soluciones)

Rango de matrices

Dentro de las operaciones matemáticas podemos encontrar el rango de matrices que, a manera de explicación corta, podemos decir que es el rango que tiene submatriz cuadrada mayor, siendo este determinante distinto a cero.

Dicho de una manera más detallada vemos que el orden que tiene una matriz cuadrada viene siendo su mismo número de columnas o filas. Por ejemplo cuando decimos que una matriz es de orden 2, es porque esta matriz tiene dos filas y dos columnas, es decir que sus dimensiones son 2×2.

Las matrices están formadas por columnas y filas, cada uno de los elementos que formarán parte de la matriz pertenecerán a una fila y a una columna. También tenemos el término de submatriz que es esa matriz que se encuentra dentro de alguna otra, es decir que dentro de una misma matriz podemos seleccionar un conjunto de filas y columnas que formen una matriz independiente. Como por ejemplo:

En esta imagen se puede ver una matriz A cuyas dimensiones son 3×4 dentro de la cual hay una submatriz independiente que es de orden 3 a la que denominamos A1 y la vemos dentro de un recuadro azul.

Rango de una matriz cuadrada

El rango de una matriz se puede decir que es el número o la cantidad de filas o columnas que resulten ser linealmente independientes es decir, que no pueden establecer alguna combinación lineal entre las filas, en el caso de las que son linealmente dependientes es porque sí se puede establecer algún tipo de combinación lineal entre las líneas . El rango de una matriz se puede obtener sin necesidad de que esta sea cuadrada, por ejemplo en una matriz como la que se muestra a continuación intentaremos saber cuál es su rango:

En la imagen anterior podemos ver a una matriz de 3×4, entendiendo que no se trata de una matriz cuadrada buscamos elegir la submatriz mayor que sea cuadrada que se encuentra dentro de esta matriz A y procedemos a calcular su determinante el cual es de orden 3. Procedemos entonces a calcular todos los determinantes de todas las submatrices posibles recordando que este debe ser distinto de cero. Solo tenemos que encontrar por lo menos una submatriz que sea cuadrada y de orden 3 para poder asegurar que el rango de toda la matriz A es 3.

Ahora que hemos tomado una submatriz cuadrada entonces es momento de continuar calculando cuál es su determinante.

Podemos determinar que el rango de esta matriz es 3 porque vemos que el resultado que arrojó es distinto de cero. Podemos comprender entonces que en el caso que todos los determinantes que pertenece a las submatrices todas de orden 3 resultan ser iguales a cero, tendríamos que continuar con submatrices pero de orden 2, esto hasta que sea posible encontrar un determinante que resulte ser distinto de cero, en cuyo caso el rango de esa matriz sería entonces 2. El resultado se representa de la siguiente manera:

Calcular rango de una matriz por determinantes

Ahora intentaremos buscar el rango pero con un método diferente, lo primero que debemos saber es que hacer el cálculo de una matriz cuadrada usando el método de determinadas no es algo complicado ya que no necesariamente hay que estar calculando ninguna submatriz sino que usamos toda la matriz directamente, esto es caso de que la matriz sea de rango 3 o menor porque si es de rango 4 si tenemos que calcular las submatrices de orden 3 o que sean menores. Por ejemplo, calculemos el rango de la matriz que se da a continuación:

Por lo que se puede observar como submatriz tenemos a la misma matriz en la que tendremos que calcular sus determinantes que deben ser distintas de cero.

Entonces obtenemos como resultado que la matriz A es de rango 4, un resultado que coincide totalmente con el orden. Este resultado se puede mostrar de la siguiente manera:

Rango de una matriz según el método Gauss

Calcular el rango de una matriz es igual a calcular el número de sus vectores independientes linealmente. Para hacer este tipo de cálculos existe un método conocido como el método Gauss y a continuación vamos a ver cómo se aplica directamente en un ejercicio.

Calcula el rango de la siguiente matriz:

En este punto procedemos a triangular toda la matriz, lo que se desea conseguir es que en la primera columna el primer elemento que aparezca sea un uno y que los elementos que se quedan debajo de esa primera columna sean solo ceros, para conseguir esto tenemos que hacer algunos cambios de fila, como en el primer caso en el que hay que intercambiar las filas o como en el segundo caso en el que hay que proceder a sumar la fila 1 y el resultado que arroje es lo que se va a dejar en la fila dos. Como último movimiento, para terminar de triangular, tenemos que conseguir que el último elemento que está en la segunda columna nos quede en cero por lo que hay que sumarle la fila dos a la fila tres y dejar el resultado en la fila tres.

Con todos estos cambios la matriz queda como se muestra a continuación:

Ahora con la matriz ya triangulada podemos ver que ninguna ha quedado con ceros, los vectores de la matriz que en total son tres quedaron linealmente independientes, por lo que toda la matriz queda en rango 3.

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