Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones No Lineales (con Respuestas)

Sistemas de ecuaciones no lineales

Se entiende como sistema de ecuaciones a un conjunto que tiene dos o más ecuaciones y que, además, tienen dos o más incógnitas que resolver.

En este caso, cuando decimos sistema de ecuaciones no lineales, nos estamos refiriendo a un sistema en específico en el cual las ecuaciones que conforman todo el sistema, pueden ser ecuaciones no lineales. Es decir, que cuando una de las interrogantes no pertenecen a las de primer grado, en este sentido es muy normal que en estos sistemas de ecuaciones nos encontremos con polinomios de segundo grado, logaritmos, raíces, exponenciales y otros.

La mayoría de estas ecuaciones no lineales pueden resolverse al poner en práctica un método de sustitución, aunque puede que esta no sea la manera más sencilla ya que existen algunos métodos más que se pueden aplicar como el método de reducción o el de cambio de variables, pero para poder aplicar uno de estos hay que tomar en cuenta ciertos detalles en la ecuación.

Métodos para resolver ejercicios de sistema de ecuaciones no lineales

Método de la sustitución

Se puede aplicar en casos donde solo una de las dos ecuaciones sea no lineal. Ejemplo:

En esta ecuación podemos ver que hay una lineal y una no lineal, entonces procedemos a aplicar el método de sustitución. Lo primero que se debe hacer es despejar, sólo en la ecuación lineal, una de las incógnitas que hay:

y = 7 – x

Lo que sigue entonces es sustituir ese valor en la ecuación que está de primero:

X2 + (7 – x)2 = 25

El tercer paso consiste en obtener un ecuación que sea de segundo grado en una de las incógnitas que en este caso del ejercicio que estamos viendo puede ser la X, entonces procedemos a desarrollarla:

X2 + 49 – 14x + x2 = 25

2x2 – 14x + 24 = 0

X2 – 7x + 12 = 0

Ahora se aplica la fórmula correspondiente para resolver.

En

Entonces a partir de aquí lo que falta es el cuarto paso que consiste en sustituir los dos valores de Y que resultaron en el primer paso por los valores de X que acabamos de obtener, resultado de la siguiente manera:

Si X es igual a 3, entonces Y es igual a 7 – 3 = 4

Si X es igual a 4, entonces Y es igual a 7-3 = 4

Las soluciones finales de toda la ecuación son: (3, 4) y (4, 3).

Método de reducción

Este método se puede aplicar en esos casos donde las dos ecuaciones son no lineales y las dos incógnitas son de segundo grado, también se puede dar que las dos ecuaciones tengan la misma incógnita y sea de segundo grado. Ejemplo:

Para comenzar se tienen que eliminar una de las dos incógnitas que puede ser la X, entonces se procede a multiplicar la ecuación que está de primera por 2 y la que está de segunda por -3, todo se representa de la siguiente manera:

Lo que sigue a continuación es resolver la ecuación que es una de segundo grado que está incompleta por lo que nos da dos soluciones, estas soluciones luego tendríamos que sustituirlas en una ecuación para poder hallar el valor de la X.

En este caso vemos que las raíces resultan ser negativas, por lo tanto todo el sistema queda sin solución.

Método de cambio de variable

Se nos puede presentar un caso en donde las dos sean ecuaciones no lineales y no sean de segundo grado sino que utilizan alguna función que puede ser un algoritmo, funciones inversas o exponenciales. Entonces, en estos casos procedemos a resolver usando el sistema de cambio de variables así podemos obtener un sistema menos complicado y fácil de manejar. Ejemplo:

Lo primero que se debe hacer es conseguir un cambio de variables que sea apropiado a la ecuación: u = 1/x, v = 1/y. De aquí lo que sigue es oler a escribir todo el sistema pero esta vez en función de u y v:

Como se puede ver en la imagen anterior, resulta un sistema como el que se usó en el ejemplo del primer método. Entonces, una vez que se han cambiado las variables se aplica el sistema del método de sustitución y se obtienen los valores que dejamos a continuación:

Si v es igual a 2, entonces u = 3

Si v es igual a 3, entonces u = 2.

Por último hay que proceder a deshacer el cambio que se hizo al principio de x = 1/u, y = 1/v. El resultado que se obtiene al final serían las siguientes:

(1/3 , 1/2 ) y (-1/2 , -1/3).

Ejemplo resuelto de sistemas de ecuaciones no lineales

Encontrar la solución, si es que la hay del siguiente sistema de ecuación no lineal:

Se comienza despejando la variable:

Y = 5 – X

Luego se sustituyen esas variables que se consiguieron al despejar las primeras quedando de la siguiente manera:

X2 + (5 – x)2 = 25

Obteniendo este resultado entonces se procede a resolver:

X2 + 25 – 10x + x2 =252x2 – 10x = 0x

(2x – 10) = 0x1 = 02x – 10 = 0 → x2 = 5

Si X1 es igual a 0, entonces Y1 = 5

Si X2 es igual a 5, entonces Y2 = 0

Hay que recordar que muchos de estos sistemas de ecuaciones se representan de manera gráfica(Lo que puede ayudar a dar con la respuesta de manera más fácil por lo que es tomado como un método de solución conocido como el método gráfico), para dejar el ejemplo completo podemos decir que este sistema de ecuacion no lineal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:

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