Ejercicios de Geometría: Polígonos

Los polígonos

En el amplio mundo de la geometría existen los polígonos. Se trata de unas figuras planas que se componen de varios elementos, los más resaltantes son las líneas que se van uniendo hasta formar una figura que encierra un área específica dentro de esta. Estas líneas o segmentos son los que se conocen como lados los cuales se unen por las vértices, ambos elementos importantes de esta figura geométrica. 

Es importante mencionar que, dependiendo el uso que se le dé a esta figura, es la definición que se le apropie. Por ejemplo en la geometría ya dimos un concepto, pero en lo que tiene que ver con el estudio euclidiano, un polígono viene a ser una figura que se define por su línea poligonal en la que existen dos extremos que coinciden. 

Elementos de los polígonos

  1. Los lados: Los lados del polígono son esas líneas que le dan forma a esta figura y que al unirse unas con otras, encierran el área del polígono. 
  2. Las vértices: Son esos puntos en donde se encuentran las líneas que forman cada lado del polígono. 
  3. Las diagonales: Se trata de esos segmentos que se encargan de unir dos vértices que no sean consecutivas. 
  4. Los ángulos internos: Es ese ángulo que se forma al unirse dos lados pero del lado de adentro del polígono. 
  5. Los ángulos externos: Es ese que se forma del lado afuera del polígono al unirse dos líneas o, mejor dicho, dos de sus lados. 
  6. El centro: Se trata de ese espacio medio que se encuentra equidistante de cada una de las vértices y de los lados. 
  7. El ángulo central: Es el que toma su forma al encontrarse dos de sus rectas desde el centro y hacia uno de los extremos de un lado específico. 
  8. El apotema: Es un espacio en el cual se unen el centro del polígono con la parte media o central de sólo uno de sus lados y resulta ser perpendicular a ese mismo lado.  

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados o según su forma En el caso de la primera clasificación los polígonos reciben un nombre según la cantidad de lados que tenga. En este sentido existen entonces los triángulos, pentágonos, hexágonos y así sucesivamente. Ahora en el caso de su clasificación según su forma, los conceptos pasan a ser un poco más complejos. En este sentido se dice que los polígonos pueden ser: 

  • Simples o complejos: Los simples son aquellos en los que se consideran las fronteras de un solo contorno, en los que se corta sus aristas que no son consecutivas. Los complejos son los que se encuentran sus aristas que no son consecutivas. 
  • Convexos o no convexos: El en caso de los primeros son polígonos simples pero que tiene todos sus lados internos menores a 180º. Los no convexos existen en esos casos donde hay una recta que corta el polígono en dos puntos o más. 
  • Cóncavos: Los que son no convexos y simples a la vez.
  • Equiláteros: Son aquellos que tienen la misma longitud en todos sus lados. 
  • Cíclicos: En los que hay una circunferencia la cual puede pasar por todos sus vértices, esto se cumple en todos los irregulares. 
  • Irregulares: Los que no cumplen los requisitos para ser equiángulos o equiláteros.  
  • Regulares: son los que pertenecen al grupo de los equiláteros y equiángulos al mismo tiempo. 
  • Alabeados: Esos en los que no se encuentran en el mismo plano ninguno de sus lados. 
  • Isotéticos: Son esos que tienen todos los lados en paralelos a los ejes cartesianos.

Ejercicios de geometría con polígonos

Existe una infinidad de ejercicios que se pueden hacer usando polígonos. Sin embargo los más populares son el poder calcular el perímetro y área de los mismos. El perímetro es todo el borde de la figura mientras que el área es todo el espacio que queda dentro del perímetro. Para calcularlos existen fórmulas especiales que, al aplicarlas, nos dan el resultado exacto de manera mucho más fácil. 

A continuación se muestran ejemplos de las fórmulas con ejercicios resueltos. 

  • Calcular el perímetro y área de un pentágono regular cuyas medidas son 5 cm de lado por 3.4 cm de apotema: 

En este caso, para calcular el perímetro,  se debe comenzar aplicando la siguiente fórmula: 

Perímetro = número de lados x lado

P = n x l

P = 5 x 5 = 25

Ahora se calcula el área aplicando la siguiente fórmula: 

Área = perímetro x apotema / 2

Á = P x a / 2

Á = 25 x 3.4 / 2 = 85 / 2

Á = 42.5 cm2

  • Calcula el perímetro y el área de un octágono cuyas medidas son: 6 cm de lado por 4 cm de apotema. 

Calculamos primero el perímetro aplicando la fórmula 

Perímetro = número de lados x lado

P = n x l

P = 8 x 6 = 48 cm

Se continúa calculando el área del octágono.

Área = perímetro x apotema / 2

A = p x a / 2

A = 48 x 4 / 2 = 192 / 2

A = 96 cm2

  • Calcule el perímetro y el área de un hexágono cuyas medidas son 32 cm de lado x 27.71 cm de apotema.

Fórmula de perímetro: Perímetro = número de lados x lado. P = n x l. 

P = 6 x 32 = 192 cm

Calculamos entonces el área, ahora que ya se tiene el perímetro.

Para lo que se aplica la siguiente fórmula

Área = perímetro x apotema

A = p x a / 

A = 192 x 27.71 / 2 = 5320.32 / 2

A= 2660. 61 cm2

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