Ejercicios resueltos con Circunferencias

La circunferencia

En geometría se conoce como una circunferencia a una línea curva cuya característica distintiva es que ésta se encuentra cerrada. Esto quiere decir que es de forma circular, todos sus puntos están a igual distancia de lo que se conoce como centro. Se convirtió en una figura muy popular cuando comenzaron a usarse los carros que tenían ruedas. En ese entonces la circunferencia no se había estudiado a profundidad y cuando necesitaron conocer de ella no tenían suficientes datos. Fue en Babilonia cuando comenzaron a estudiarla y encontraron entonces que la circunferencia tenía relación con otros términos como radio o diámetro. 

Es muy común confundir  la circunferencia con el círculo y esto es comprensible debido a que los dos cuentan con una figura totalmente circular. Sin embargo entre los dos existen diferencias muy marcadas que no admiten confusión alguna. El círculo es una figura en la geometría plana que está delimitada por una línea curva cerrada. Cuenta además con un área que es la que se encuentra dentro del círculo. En cambio la circunferencia es sólo la línea por lo que no cuenta con un área. 

Elementos de la circunferencia

Antes de comenzar a resolver los ejercicios es necesario conocer cuáles son los elementos de la circunferencia a fin de poder comprender los términos usados en las diferentes ejercicios. Los elementos principales de la circunferencia son: 

  • Centro: Normalmente se representa con la letra C y se encuentra justo en el centro. Se trata de un punto que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia. 
  • Radio: Representado por una r minúscula, es ese espacio en donde se une el centro con la circunferencia. 
  • Diámetro: se representa con una d minúscula. Se trata de todo espacio que une sólo a dos puntos de la misma circunferencia. 
  • Perímetro: Se representa usando una L mayúscula. El perímetro de una circunferencia es todo el contorno o la línea curva que forma la circunferencia. 

Ejercicios con circunferencias

Los ejercicios que involucran a las circunferencias pueden ser muchos.A continuación presentamos algunos de ellos, todos acompañados por sus respuestas.

Ecuación de la circunferencia

Teniendo claro el concepto de circunferencia vamos a proceder a hacer un ejercicio que es de los más comunes en el caso de las circunferencias.  A continuación presentamos algunos ejercicios de ecuación de circunferencia junto a sus respuestas. 

  • Encuentra cuál es la ecuación de una circunferencia que tiene un centro de C (0,0) y un radio de r = 5: 

Entonces tomamos los datos que tenemos que son: 

C (0,0) 

R = 5

Procedemos a aplicar la fórmula correspondiente y a operar:

(x-0)2 + (y-0)2 = 52

X2 + y2 = 25

  • Encuentra la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto A (2,-1) de la misma y su centro es C (-1,3)

Aquí conocemos dos valores que es el centro y el punto A, pero seguimos necesitando el valor del radio. Este valor lo conseguimos aplicando la siguiente fórmula: 

r=d(A,C)=(2+1)2+(-1-3)2 = 5

Este es el valor del radio, por lo que se representa r = 5. Ahora, teniendo los dos valores necesarios se procede a resolver:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 52

X2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 25

X2 + y2 + 2x -6y – 15 = 0

  • Encuentra la ecuación de la circunferencia que su centro es C(-2,3) y su radio es de r = 4 y comprueba cuál de estos puntos pertenece a esta circunferencia, si A(2,3), B(-4,3) o D(1,5):

Tomamos los datos que tenemos que son: 

C(-2,3)

r = 4

Entonces en esta expresión:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Tomamos las coordenadas que tenemos del radio y del centro y procedemos  sustituirlas: 

(x + 2)2 + (y – 3)2 =42

Ahora continuamos desarrollando el cuadrado del segundo miembro y los productos notables, quedando todo como se muestra a continuación: 

X2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16

Se continúa ordenando todos los términos:

X2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 

Ahora debemos proceder a comprobar cada uno de los puntos dados para poder encontrar aquel que sí pertenece a la circunferencia dada Entonces debemos continuar comprobando cada punto: 

A(2,3)

22 + 32 + 4 x 2 – 6 x 3 – 3 = 0

Concluimos que el punto A (2,3) Sí pertenece a la circunferencia. 0=0 A (2,3) circunferencia.

B (-4,3)

(-4)2 + 32 + 4 x (-4) – 6 x 3 – 3 = 0

Concluimos que el unto B (-4,3) no pertenece a la circunferencia. -12 0 B(-4,3) circunferencia. 

C(1,5)

12 + 52 + 4 x 1 – 6 x 5 – 3 = 0

Concluimos que el punto C (1,5) N pertenece a la circunferencia: -3 0 C(1,5) circunferencia. 

Calcular el radio y el centro de una circunferencia

A continuación veremos dos ejemplos de estos ejercicios ya resueltos: 

  • Tomando la siguiente ecuación de circunferencia: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 Encuentra el radio y el centro: 

-2 = -2a   a = 1 

C (1,-2)

4 = -2b   b = -2

C = a2 + b2 – r2 

4 = 1 + 4 – r2

r = 3

  • Calcula cuáles son las coordenadas que corresponden al centro y al radio de la siguiente circunferencia: x2 + y2 – 4x 6y – 1 = 0

– 4 = -2a   a = 2

C (2,3)

-6 = -2b   b = 3

-12 = 22 + 32 – r

r = 5

 

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *