Elementos de la potenciación: definición y ejemplos

La potenciación

Se conoce con el término de potenciación a aquella operación matemática que se realiza entre dos términos que se conocen como la base y el exponente.

En este caso la base la vamos a representar con una y la potencia con una n, entonces la representación será la siguiente n  y la forma correcta de leer esta operación sería “a elevado a la n”.

También se pueden presentar casos especiales donde el exponente sea un 2 o un 3 entonces se leería al cuadrado o al cubo respectivamente. 

Existen diferentes conjuntos numéricos y cada uno tiene una forma de exponente diferente, por ejemplo existe el exponente entero, el exponente racional, el exponente complejo y el exponente real, cada uno con sus propiedades que lo hacen ser totalmente diferente a los demás.

Esto quiere decir que también tienen  sus propios procedimientos de resolución y que se deben aplicar las propiedades de acuerdo al tipo de exponente para que, de esta manera, el resultado sea óptimo.

Recordemos que el objetivo principal de todas estas operaciones es simplificar la forma en la que son representadas, explicadas y resueltas cada una de ellas. 

Elementos de la potenciación

La base: Se establece como base de una potencia a esa cifra que debe ser repetida  exactamente la cantidad de veces que se indica en la potencia.

Cabe destacar que el proceso de repetición se lleva a cabo por medio de la multiplicación. Por lo tanto si se presenta 23 se debe multiplicar 2 x 2 x 2 lo que da como resultado un 8 porque 2 x 2 es igual a 4 y 4 x 2 es igual a 8. En cuanto a la base se pueden dar varios casos como por ejemplo: 

  • Un concepto un poco más complejo es cuando la base se presenta en fracciones, entonces se dice que 2/53 = 8/125 que sería como decir 23 y 53. En el caso que una base sea con el número 10 no es necesario colocar el cero, sino que al momento de escribir el resultado, colocamos tantos ceros como indique la potencia. Es decir que en el caso que se presente la siguiente potenciación 103 = 1000 entonces no es necesario hacer la multiplicación 10 x 10 x 10 para saber el resultado sino que añadimos directamente tres 0 al 1 de la base y de esta manera se obtiene el resultado mucho más rápido. 
  • De igual manera puede que aparezca en algún ejercicio una base que sea positiva o negativa, en este sentido podemos decir que si la base y el exponente son los dos positivos el resultado que se obtenga también será positivo, pero en esos casos donde la base es negativa, entonces el signo del resultado lo va a determinar si el exponente es un número par o impar. Entonces se dice que si el exponente es un número par como el 2, 4, 6, 8, etc, el resultado será positivo pero si el exponente es impar como el 5, 7, 9, etc, entonces el resultado será negativo.

Ejemplo: 

(-2)2 = (-2 x -2) = 4

(-2)5 = (-2 x -2 x -2 x -2 x -2) = -32

El exponente: También es conocido como índice o potencia y se trata de ese número o valor que se encuentra en la parte superior derecha y que sirve para indicar cual es la cantidad de veces que se va a multiplicar la base.

Hay que destacar que los exponentes pueden representarse como positivos, negativos fraccionarios, impares o números pares, en todos los casos debe ser un número primo, entero o de algún otro grupo.

Algo a tener en cuenta es que no se acostumbra usar decimales al escribir las potencias, esto para evitar el uso de calculadoras lo que haría todo el proceso de resolución algo complicado. 

  • Se dice que una potencia tiene exponente natural cuando vemos que en el exponente está compuesta por un 0 o por un 1. Entonces se comprende que en los casos en los que el exponente sea un 0 el resultado de la potencia será el número 1. Por ejemplo en la potenciación 20 = 1. Sin embargo en los casos contrarios donde el exponente es un 1 éste no se escribe sino que ya se sobreentiende que la potencia es 1, entonces se dice que 21 = 2  C1 = C.
  • Puede que en algunos casos el exponente afecte de manera directa no solo a una base sino a un grupo de ellas, es decir que se presentan varias bases con el mismo exponente, a esto se le conoce como potencia de un producto y se debe aprender la manera correcta en la que han de ser resueltos. En este sentido podemos decir que la potencia de un producto resulta siendo igual al producto que tengan las potencias cuyas bases sean los factores y su exponente sea el mismo. 

Potencia de una potencia

Usando las potencias se pueden hacer diferentes operaciones como por ejemplo multiplicaciones y divisiones, entonces se entiende que también está permitido hacer una potenciación a cualquier cifra sin importar que ésta ya cuente con un  exponente y esto es lo que se conoce como la potencia de una potencia.

En este sentido la operación se resuelve dejando la base intacta y sólo multiplicando los exponentes como se puede apreciar en el ejemplo a continuación. 

Ejemplo: ( 22 )3 = 22×3 = 26 = 64

Vemos entonces que se dejó la misma base ( 2 ) y que se multiplicaron los exponente ( 2 x 3 ).  

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