Funciones exponenciales y logarítmicas

Al ver que una función no logra satisfacer una ecuación polinómica donde los coeficientes a su vez son polinomios se les denomina funciones trascendentes. Comredemos que este tipo de funciones generan un contraste con las funciones algebraicas, las cuales si satisfacen las condiciones establecidas.

Es importante saber que las funciones exponenciales, al igual que las logarítmicas, son consideradas trascendentales, ya que estas “trascienden” al álgebra. Esto se debe a que ninguna de ellas puede ser expresada con términos de una secuencia finita de operaciones comunes de álgebra. Con estas  operaciones nos referimos a la suma, resta y extracción de raíces. 

Las funciones exponenciales y logarítmicas presentan una peculiaridad, y es que son la inversa la una de la otra. Cuando en una expresión y = axnos dan el valor de “a” y “x” para el cálculo de “y”, estamos ante una función exponencial. Pero cuando los valores aportados son “a” y “y” para calcular “x”, entonces es una función logarítmica. 

¿Qué son las funciones exponenciales?

Las funciones exponenciales son aquellas utilizadas para representar algún tipo de crecimiento, ya sea animal, vegetal, económico, etc. La función exponencial siempre surge al momento en el que una cantidad crece o decae a una tasa proporcional. La estructura general de las funciones exponenciales está dada de la siguiente manera: 

f (x) =abx

Aquí, “b” corresponde a un número real positivo, mientras que el argumento “x” está definido como un exponente dentro de la función. Este tipo de funciones se caracterizan por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función es directamente proporcional al valor de la función.

La función exponencial ha logrado expandirse ampliamente en todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Este suceso ha llevado a que matemáticos, como  W. Rudin, opinen que es la función más importante en las matemáticas. Estas funciones modelan el cambio constante entre una variable independiente y el cambio proporcional de una variable dependiente.

Ejemplo de las funciones exponenciales

Primero debemos entender que para toda función donde f: R R+* tal que y = ax con a 1 y a > 0 es función exponencial. El valor de “y” en la función f(x) = ax para cualquier número del conjunto de los reales siempre será positivo. El valor no puede ser cero, pues no existe ningún número para “x” que sustituido en la función de como resultado cero. Es por esta razón que la gráfica de la función exponencial nunca corta con el eje “x”, sino que pasa sobre él.

¿Cómo se soluciona una ecuación exponencial?

A continuación veremos cómo se soluciona una ecuación exponencial para conseguir los puntos que nos darán la gráfica en el plano. Lo primero que haremos será seleccionar los valores para x, tomando el intervalo -3 x 3 y la función siguiente:

f(x) = 12x

x-3-2-10123
y

Para hallar los valores de “y” solamente debemos sustituir a “x” en la función por los valores de la tabla, obtenidos del intervalo. Por ejemplo:

f(x) = 12-3

f(x) =23

f(x) =8

De esta misma manera procedemos con los demás valores de la tabla que corresponden para “x” y así hallar cada valor para “y”. Una vez se calcule cada valor, la tabla quedará de la siguiente manera.

x-3-2-10123
y8421121418

Cuando ubicamos cada par ordenado dentro de un plano cartesiano y trazamos la gráfica, nos daremos cuenta que la función es decreciente. Esto sucede cuando a < 1, estrictamente la curva descrita será decreciente. 

¿Qué son las funciones logarítmicas?

Cuando se habla de un logaritmo nos referimos, en una base dada, al exponente al cual debe ser elevada la base para obtener dicho número. Un logaritmo se describe de la siguiente manera: 

loga x = y = a y donde a > 0, a 1

Por otro lado, la función logarítmica es aquella que es proporcionalmente inversa a la función exponencial. En el caso de este tipo de funciones, cuando 0< a < 1 entonces la gráfica de la función será decreciente. Por otro lado, si a > 1 entonces se define como una función logarítmica creciente.

Debido a que las funciones logarítmicas son la inversa de las funciones exponenciales, estas últimas pueden expresarse de forma logarítmica. De igual manera, todas las funciones logarítmicas pueden reescribirse como en forma exponencial. La utilidad de los logaritmos radica en la capacidad que brindan en la fácil manipulación de números grandes. Gracias a este tipo de funciones, los números se vuelven mucho más manejables.

Ejemplo de las funciones logarítmicas

En Primer lugar, debemos tener en cuenta que el dominio de una función logarítmica siempre pertenecerá a los números reales positivos. Esto aunque su recorrido si puede evidenciarse en todos los números que componen al conjunto de números reales. 

Este tipo de funciones son inyectivas, lo que quiere decir que ninguna imagen tiene más de un original. Cómo se estableció previamente, si a > 1 entonces la función será creciente, y solo se determina si es decreciente cuando 0< a < 1. Veamos un ejemplo de un ejercicio con una función logarítmica:

f (x) = log2 x

Representación gráfica en el plano cartesiano

Para representar una gráfica en el plano cartesiano tomaremos diferentes valores que observamos en la siguiente tabla. Estos son los números que sustituirán a “x” dentro de la función logarítmica, recordando que “x” siempre debe ser mayor a cero.  

x1814121248
y

Aquí vemos que para conseguir los valores que corresponden a la fila de “y” solamente debemos sustituir “x” en la función, por ejemplo:

f (x) = log2 18

f (x) = log2 123

f (x) = log2 2-3

f (x) = -3

En el desarrollo de esta función, se calculó el valor de “y” cuando x = ⅛. Lo que se hizo en este caso fue descomponer al denominador en sus factores primos, resultando en una potencia de base 2 elevada a la 3.

Luego, se llevó al denominador de la facción al lugar del numerador. Esto se logró cambiando el signo del exponente para facilitar la solución de la función. Al calcular el valor del logaritmo, el resultado de la función es -3, siendo este el valor para “y” en el primer par de coordenadas.

Cuando la ecuación ha sido aplicada para cada valor de “x”, la tabla de coordenadas debería quedar de la siguiente manera:

x1814121248
y-3 -2-20123

Al graficar estos puntos en un plano cartesiano nos encontramos con una curva creciente. Esto se debe a que la base del logaritmo es mayor que 1, cumpliendo lo que fue establecido anteriormente.

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