Funciones hiperbólicas

En matemáticas, las funciones hiperbólicas son similares a las funciones trigonométricas o funciones circulares. Por lo general, las funciones hiperbólicas están definidas a través de expresiones algebraicas que incluyen la función exponencial (ex). También incluyen sus funciones exponenciales inversas (e-x), donde e es la constante de Euler.

Las funciones hiperbólicas son análogas a la función circular o funciones trigonométricas.  La función hiperbólica ocurre en las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales y en el cálculo de distancias y ángulos en la geometría hiperbólica. También pueden ser halladas en la solución de  ecuaciones de Laplace en las coordenadas cartesianas. 

Por lo general, la función hiperbólica tiene lugar en el argumento real que lleva por nombre “ángulo hiperbólico”. Existen tres funciones hiperbólicas básicas, las cuales son:

  • Seno hiperbólico (senh)
  • Coseno hiperbólico (cosh)
  • Tangente hiperbólica (tanh)

Es de estas tres funciones básicas que se derivan las otras funciones como cosecante hiperbólica (cosech), secante hiperbólica (sech) y cotangente hiperbólica (coth). Por ahora, analizaremos en detalle las funciones hiperbólicas básicas, los gráficos, las propiedades y las funciones hiperbólicas inversas.

Fórmulas de funciones hiperbólicas

A continuación, veremos las fórmulas básicas de funciones hiperbólicas junto con sus funciones gráficas. Estas son las siguientes:

Función del seno hiperbólico

El seno hiperbólico es una función real de la variable real x. Esta se encuentra designada por senh(x). La función del seno hiperbólico es una función impar donde f: R → R está definido por:

f(x) =  exe-x /2 y se denota por senh x. Por lo tanto:

senh (x) =  exe-x /2

La gráfica de la función del seno hiperbólico está descrita tal que y = senh (x)

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Función del coseno hiperbólico

El coseno hiperbólico de un número real x se encuentra designado mediante cosh (x). La función coseno hiperbólico es una función par donde f: R → Restá definido por:

f(x) = ex+e-x  /2 y ya que esta se denota por cosh x, tenemos que la función es:

cosh (x) =  ex+e-x2

La gráfica de la función del coseno hiperbólico está descrita tal que y = cosh (x)

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Función de tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica de un número real x está designado mediante tanh (x). Está está definida como el cociente que existe entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico. Esta es una función impar donde f: R → Restá definido por:

f(x) =  senh x / cosh x y se denota por tanh x.Por lo tanto:

tanh (x) =  senh x / cosh x.

Si realizamos la sustitución de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico obtenemos una fórmula más directa para la tangente hiperbólica: 

tanh (x) =  exe-xex+e-x

La gráfica de la función del coseno hiperbólico está descrita tal que y = tanh (x)

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Funciones hiperbólicas inversas

En matemática, las funciones hiperbólicas inversas son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas. También se conoce como función hiperbólica de área. La función hiperbólica inversa proporciona los ángulos hiperbólicos correspondientes al valor dado de la función hiperbólica.

El seno hiperbólico inverso, también nombrado como área del seno hiperbólico, es la función inversa del seno hiperbólico. La fórmula que le corresponde es: 

arg senh (x)=In (x+√x2 +1)

Por otro lado, el coseno hiperbólico inverso, conocido también como área del coseno hiperbólico, es  la función inversa del coseno hiperbólico. Su fórmula está dada de tal manera que: 

arg cosh (x)=In (√x+x2 -1)

Por su parte, la tangente hiperbólica inversa, llamada también área de la tangente hiperbólica, es la función inversa de la tangente hiperbólica. Su fórmula está estructurada de la siguiente manera: 

arg tanh(x) = 1/In  (1+x  / 1-x )

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