Gráfica de la función exponencial

Las funciones exponenciales

Cuando se trabaja con funciones, las cuales involucran operaciones de potenciación o una variable como potencia, se les conoce como funciones exponenciales. Por lo general, a las funciones exponenciales, lo expresa de la siguiente manera: 

ƒ(x)=ax

Para esta función,  “a” es un número positivo, diferente de 1, y “x” es la variable que además es una potencia. Si queremos graficar una función exponencial, es importante recordar a la propiedad que dicta que todo número que se eleve a 0 es igual a 1, es decir: 

=1

A lo que nos referimos con esto es que su gráfica, siendo creciente decreciente, siempre va a cortar al eje y en 1. Las funciones exponenciales son utilizadas en diversas situaciones del mundo real. Estas son utilizadas principalmente para encontrar la caída exponencial o el crecimiento exponencial o también para calcular inversiones, poblaciones, etcétera. 

La base de la función exponencial más utilizada es el número trascendental “e”, o constante de Euler, el cual equivale aproximadamente a 2,71828. En cuanto a la gráfica de una función exponencial, una curva exponencial crece o decae dependiendo de la función. Cualquier cantidad que crezca o decaiga en un porcentaje fijo a intervalos regulares debería poseer un crecimiento exponencial o una caída exponencial. 

Propiedades de la función exponencial

Como se mencionó previamente, debido a que aº=1, la curva descrita pasa cortando al eje en el 1. De la misma manera, cuando a1=a la curva pasa por el punto a. El valor de el punto y en la expresión y=ax para cualquier número del conjunto R siempre será un número positivo. Al mismo tiempo, y nunca puede valer 0.

Otra peculiaridad de las funciones exponenciales es que su gráfica nunca corta con el eje x. Además, si a>1, la curva descrita será estrictamente creciente:

, Gráfica de la función exponencial, Estudianteo

En el caso contrario, cuando a<1, la curva será estrictamente decreciente. 

, Gráfica de la función exponencial, Estudianteo

Además, una función exponencial siempre será positiva, por lo que su dominio siempre será desde (-∞, +∞), y su rango será desde (0, +∞).

Graficando funciones exponenciales

Primero, graficamos una función exponencial simple, la cual tiene la forma: ƒ(x)=2x.Para hacer la gráfica, tomaremos los siguientes valores para el eje x:

x-3-2-10123
ƒ(x)=y=2x

Si queremos calcular el valor de y debemos sustituir a x en la función y hacer los cálculos correspondientes, por ejemplo:

ƒ(-3)=2-³

ƒ(-3)= 1/

ƒ(-3)= 1 /8

Tal y como hicimos cuando x= -3 debemos hacer para todos y cada uno de los valores de x. De esta manera podemos conseguir los valores que corresponden para y. Una vez resueltas cada una de las funciones, tenemos que: 

x-3-2-10123
f(x)=y=2x⅛ ¼ ½ 1248

Representados en un plano, la gráfica resultante sería la siguiente:

, Gráfica de la función exponencial, Estudianteo

Podemos observar que la gráfica tiene al eje X como una asíntota a la izquierda y a la vez, aumenta muy rápido a la derecha. Por supuesto, si hacemos un cambio en la base de la función, la forma del gráfico va a cambiar. 

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