Integral definida: fórmulas y ejercicios resueltos

Integral definida

Desde que el planteamiento de integral definida fue descubierta por primera vez, han sido muchas las necesidades que ha suplido, sobre todo en cuanto al mejoramiento que se ha visto en los diferentes métodos que se emplean para medir áreas que se encuentran sub tenidas bajo superficies o bajo líneas curvas. La integración como una técnica comenzó a desarrollarse com mucho más fuerza en el siglo XVII y al mismo tiempo comenzaron a verse algunos avances sobre las, ya en ese entonces conocidas, teorías derivadas y sobre todo lo que tiene que ver con el cálculo diferencial.

¿Qué es la integral definida?

El término integral definida es, básicamente, un concepto que comenzó a manejarse para poder determinar cuál es el valor que existe en las áreas que permanecen limitadas por una recta o una curva. Entonces si se tiene el intervalo [a, b] en el que se establece una función f (x) para cada punto x, tomando en cuenta que dicha función es mayor o igual que 0 en [a, b], se establece como integral definida de la funció entre puntos a y b, al espacio o área del plano que se encuentra limitada por la función, las rectas verticales de las ecuaciones x = a y x = b, además de lo que se denomina eje horizontal OX.

La manera correcta de representar esta integral definida es:

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Generalizaciones modernas de la integral definida

Con la idea de conocer un poco a profundidad este término que ahora se conoce, es importante comenzar desde el momento en que se creó el cálculo integral a mediados del siglo XVII y, luego de su desarrollo el cual fue intuitivo que se tomó un par de siglos, todo el concepto de lo que es la noción de la integración se comenzó a analizar con el máximo de rigor , esto en pleno siglo XIX. De ahí se comenzó a conocer lo que era la primera noción de integración según el concepto de integral de Reimann o, como su generalización que se conoce como integral de Reimann-Stineltjes.

Cuando comenzó el siglo XX todo lo que es la teoría de la medida vivió un desarrollo tan grande que elevó el concepto a uno más general y mucho más avanzado que es el de integral de Lebesgue. Con el pasar de algún tiempo más de desarrolló la noción de proceso estocástico que estaba dentro de lo que era la teoría de la probabilidad y llevó a la formulación de la integral de Itō cuando se estaba viviendo la mitad del siglo XX y posterior a eso se generalizó y se conoció en todas partes como la integral de Skorohod.

Propiedades de la integral definida

En todo el proceso de la integral definida se deben cuplir las siguientes propiedades:

  • El resultado final es igual a cero en toda la integral extendida a un intervalo qe contenga un punto único, [a, a].
  • En el caso que una función f (x) sea mayor que cero, su integral debe ser positiva. En cambio si la función es menor que cero, entonces su integral debe ser negativa.
  • Para determinar la integral de una suma de funciones se debe sumar sus integrales pero cada una por separado.
  • Esta propiedad establece que la integral del producto de una constante multiplicado por una fracción, el resultado debe ser el mismo que se debe obtener al multiplicar la constante por la integral de la fracción. Comprendemos entonces que se puede extraer la constante de la misma integral.
  • Ocurre un cambio de signos en la integral cuando se permutan sus límites.
  • Cuando se presentan tres puntos donde a < b < c, se debe cimplir con que se conoce como la integración a trozos, representada de la siguiente manera:, Integral definida: fórmulas y ejercicios resueltos, Estudianteo
  • En todo punto x de un intervalo [a, b] en el que se procede a aplicar dos funciones f(x) y g(x) de manera que f (x) < g (x), entonces se confirma que:

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A continuación se presenta una ilustración gráfica de lo que es el concepto de integral definida:

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Regla de Barrow

Esta regla establece que la integral definida de una función que se considera continua f (x) en un intervalo cerrado [a, b] tiene como resultado el igual a la diferencia que hay entre los valores que adquiere una función primitiva G (x) de f (x) en cada extremo del mismo intervalo. Ejemplo:

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Teorema fundamental de cálculo integral

Existe una importante relación entre integral definida y derivada, esta conexión o relación estrecha se presenta con este término de teorema fundamental del cálculo integral el cual es una muy útil herramienta de la cual queda establecido que, dada un función f (x), su función integral asociada f (x) debe cumplir con: F1 (x) = f (x). Usando este teorema como parte fundamental del cálculo integral, entonces es posible definir una forma que nos ayude a calcular la integral definida de una función f(x9 en un intervalo [a, b] que es el punto que vimos anteriormente: La Regla de Barrow, es decir, que se debe:

  1. Como primer paso se debe buscar una función F (x) que pueda verificar que F¿ (x) = f (x).
  2. Luego calcular el valor que tiene esta función en cada extremo del intervalo: f (a) y f (b).
  3. Ahora el valor de la integral definida que existe entre los dos puntos se representa de la manera en que lo vimos en la figura anterior.

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