Jerarquía de operaciones (qué es, niveles y aplicación)

¿Qué es la jerarquía de operaciones?

Como ciencia, la matemática es exacta y ordenada, es por esto que siempre existen métodos que se aplican para resolver operaciones. Esos métodos deben ser aplicados siguiendo un orden específico que se debe cuidar porque sino el resultado puede ser equivocado.

Para mantener este orden existe la jerarquía de operaciones que es un sistema en donde se establecen prioridades de resolución. Estas jerarquías se aplican en operaciones en donde existen sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, potencias y otras operaciones más. Estas operaciones se conocen como operaciones combinadas. 

Explicándolo de otra manera podemos decir que la jerarquía en operaciones matemáticas es saber establecer qué operación tiene más prioridad que otra, dentro del mismo ejercicio. 

Niveles de jerarquía

Para las operaciones matemáticas se han establecido un orden o nivel de jerarquía en el que se establece cuál operación se debe resolver primero que otra. Esto en las operaciones combinadas. El orden de prioridad dentro de una expresión matemática es el siguiente: 

  • Las llaves, paréntesis y los corchetes. Estos se deben resolver siempre viniendo desde adentro hacia afuera. 
  • Las potencias y las raíces.
  • Las divisiones y multiplicaciones. 
  • Las restas y sumas.

Además existen algunas recomendaciones que se deben aplicar para resolver las operaciones combinadas de manera correcta. En estas se encuentra la de no mezclar las operaciones cuando pertenecen a niveles diferentes.

También se recomienda resolver cada paréntesis como una expresión individual. Recordando siempre que el propósito de establecer las prioridades es hacerlo todo más fácil y ordenado. Es por esto que se dejan las operaciones más simples para el final. 

 Aplicación de las jerarquías en operaciones combinadas

Para poder comprender los conceptos de manera más clara, procedemos a resolver un ejemplo de operaciones combinadas explicando paso a paso.

Operaciones combinadas con sumas y restas

Estas operaciones combinadas que solo contienen expresiones de suma y de resta son las que se consideran más simples de resolver. Aquí no hay un orden de jerarquía pues las sumas y restas se encuentran al mismo nivel, entonces solo hay que proceder a resolverlas. 

Por ejemplo: 

3+117-5+10=125

Siendo este el nivel más bajo de las jerarquías entonces será el objetivo. Es decir, que en una operación combinada, resolveremos todo para, finalmente, llegar a este novel  resolver el resultado final. 

Operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicación y división. 

En este caso la operación ya incluye otras expresiones que pueden resultar un poco complicadas, pero no es así. Solo se debe aplicar al principio del orden de jerarquías y todo será mucho más sencilla. 

Por ejemplo: 

3+9.13-5+20/2=

Entonces comenzamos resolviendo primero las divisiones y multiplicaciones que son las de mayor nivel de jerarquía en este caso. Al resolver éstas, vemos que todo queda en el nivel más bajo. Es decir, en sumas y restas.

3+117-5+10=125

En es muy común pensar que se deben resolver de izquierda a derecha, siendo esto un error pues no se toman en cuenta las jerarquías. Es por esto que se mezclan las diferentes operaciones sin importar su nivel. Esto no es recomendable porque, al final de todo, el resultado que se obtiene es equivocado. 

Operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicación, división y potencias.

Usando el mismo ejemplo que hemos venido trabajando, ahora vamos a incorporar las potencias. 

Por ejemplo: 

3+32.13-5+20/2=

Aquí lo que debemos hacer es resolver primero la potencia para luego hacer la multiplicación por el término correspondiente. Se continúa la operación de la siguiente manera: 

3+9.13-5+20/2=

Una vez se haya resuelto las petencias se debe continuar con la operación. En este caso lo que queda es proceder como hemos visto anteriormente.

Entonces, a modo de resumen se acuerda resolver primero las potencias, luego las multiplicaciones, las divisiones, las sumas y las restas. Así se van eliminando todos los niveles.

3+117-5+10=125.

Operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicación, división , potencias y parentesis.

También se puede presentar el caso de que en una operación combinadas se presenten todos los casos anteriores y el uso de paréntesis. 

Por ejemplo: 

3+9.(1+3.22 -52/5+5) -5 +20/2= 

Aquí lo que se busca es resolver lo que se encuentra dentro de los paréntesis como si se tratara de una expresión única.

En este sentido lo que se debe hacer es aplicar lo que estamos viendo de las jerarquías en lo que está dentro del paréntesis sin tomar en cuenta lo que hay fuera del paréntesis. 

Por ejemplo:

=3+9.(1+3.4-25/5)-5+20/2=

Ahora lo que corresponde es resolver las multiplicaciones y divisiones que se encuentran dentro del paréntesis

=3+9.(1+12+5+5)-5+20/2=

En este punto se hace la suma que se encuentra dentro de los paréntesis quedando la operación como se muestra a continuación:

3+9.13-5+20/2=

Siguiendo la jerarquía de operaciones se debe resolver la multiplicación, quedando como se muestra a continuación:

3+117-5+10=125

A modo de resumen se puede decir que primero se ha resuelto lo que está dentro del paréntesis y luego se procedió a resolver los demás niveles. Todo esto estableciendo las jerarquías en todas las operaciones combinadas. Esto dará la garantía que al final se va a obtener el resultado correcto.

Se pueden presentar operaciones combinadas en las que se presenten otras expresiones mucho más complicadas. Por ejemplo se pueden presentar potencias dentro de los paréntesis o con raíces y el todos los casos se debe seguir el mismo orden según el nivel de la expresión. 

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