Ley del coseno

En algunas ocasiones, si queremos resolver un ejercicio de trigonometría, no podemos utilizar el teorema del seno. Esto ocurre sobre todo cuando tenemos los valores del ángulo y sus dos lados adyacentes. Bajo esta situación, lo que podemos hacer es aplicar la ley del coseno, la cual es muy útil para estos casos.

En trigonometría, la ley de los coseno también es conocida como regla del coseno fórmula del coseno. Esta es básicamente la relación que existe entre la longitud del triángulo con  los cosenos de uno de sus ángulos. Esta ley establece que, si se conoce la longitud de dos lados y el ángulo entre ellos, podemos terminar la longitud del tercer lado.

Puesto en palabras más simples, la little coseno relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos. Además, también relaciona al coseno del ángulo que está formado por esos otros dos lados. Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera, y en este «A», «B» y «C» son sus ángulos. Por otra parte, «a», «b» y «c» son los lados opuestos a dichos ángulos, entonces:    – 2bc · cosA

Demostración de la ley de coseno

, Ley del coseno, Estudianteo

Si observamos la figura de arriba podemos entender «A», «B» y «C» son los ángulos y «a», «b» y «c» son los lados opuestos. Si queremos demostrar el teorema de cosenos, lo que prosigue es dividir dicho triángulo en dos triángulos rectángulos:

, Ley del coseno, Estudianteo

Podemos observar en estos triángulos que la línea que los divide se denomina «h». Por otra parte es helado que se forma entre «c» y «h». Para seguir la demostración debemos aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo que está a la izquierda, obteniendo así: ++u².

Si repetimos el proceso para el triángulo de la derecha, entonces vamos a tener que: =+(b+u)².

Seguimos la demostración si despejamos a h2 de la primera ecuación y su resultado lo sustituimos en la segunda. De esta manera obtendremos:

, Ley del coseno, Estudianteo

Para proseguir debemos recordar al binomio cuadrado de resta, el cual dicta que:

, Ley del coseno, Estudianteo

Del triángulo izquierdo obtenemos que: u = c · cosA

Esto lo tomaremos y sustituiremos el valor de u en =+-2bu,obteniendo así:

, Ley del coseno, Estudianteo

Quedando así la demostración de la ley de seno. Dependiendo de los lados y ángulo que tengamos, podemos repetir este procedimiento y demostrar de igual manera las demás fórmulas de la ley de coseno:

, Ley del coseno, Estudianteo

Ejercicio de ley del coseno

Supongamos que tenemos un triángulo donde se cumple que b=84 cm; c=52 cm y A=72°, vamos a calcular en lado a.

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