Método de mínimos cuadrados

Existe la posibilidad de que cuando varias personas hagan las mismas medidas de cierta cantidad estas no arrojen el mismo resultado. Todos los resultados pueden variar, pero hay una manera para obtener una mejor estimación que se acerque a la verdadera medición. Esta es conocida como método de mínimos cuadrados.

A través de él podemos conseguir la mejor estimación, si suponemos que los errores o diferencias con respecto al valor verdadero son aleatorias o imparciales. A continuación estaremos estudiando el proceso y origen de este método y sus componentes a detalle.

¿Qué son los mínimos cuadrados?

Los mínimos cuadrados son un procedimiento mediante el cual se realiza un análisis numérico. Esto es a través de un conjunto de datos, donde se intenta determinar cuál es la función que tenga una mejor aproximación a ellos. Igualmente, se proporciona una representación gráfica de la relación que existe entre los puntos de los datos. 

El método de mínimos cuadrados busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas entre los puntos generados por la función. Este es un método utilizado comúnmente para el análisis de una serie de datos que se han obtenido de algún estudio. El fin es el de expresar de una manera lineal el comportamiento y reducir los errores de los datos obtenidos.

La creación del método de mínimos cuadrados se atribuye generalmente al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794, pero publicado en 1809. Aún así, el matemático francés Adrien-Marie Legendre, quien lo desarrolló independientemente, fue el primero en publicarlo en el año 1805.

Historia del método de los mínimos cuadrados

Fueron los campos de la astronomía y la geodesia los que vieron el surgimiento del método de los mínimos cuadrados. Los científicos de y matemáticos buscaban brindar una solución a los desafíos que se presentaban al navegar por los océanos de la tierra durante la Era de los Descubrimientos.

El poder describir con precisión el comportamiento de los cuerpos celestes fue clave para permitir a los barcos navegar en mar abierto. En este tipo de escenarios, los marineros ya no podían confiar en los avistamientos terrestres para realizar su navegación.

Este método está fundamentado en varios avances que sucedieron durante el siglo XVII. Por ejemplo, la combinación de diferentes observaciones como la mejor estimación de valor real. De esta manera los errores disminuyeron con la agregación en lugar de aumentar, y se presume que fue presentado por primera vez por Roger Cortés en 1722. 

El método de promedios, el cual consistía en combinar las diferentes observaciones tomadas en las mismas condiciones fue utilizado notablemente por Tobias Mayer. Esto fue mientras estudiaba las libraciones de la luna en 1750. Así mismo, Pierre-Simon Laplace lo utilizó en su trabajo para explicar las diferencias en el movimiento de Júpiter y Saturno.

La exposición clara y concisa del método de mínimos cuadrados fue publicada por Legendre en 1805. Describió a esta técnica como un procedimiento algebraico para ajustar las ecuaciones lineales a los datos. Legendre demostró el nuevo método analizando los mismos datos que Laplace para la forma de la tierra. 

De manera casi inmediata, el valor del método de mínimos cuadrados de Legendre fue inmediatamente reconocido por los principales astrónomos y geodesistas de la época. Mientras tanto, Gauss publicó en 1809 su método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes, asegurando tener este trabajo desde 1795.

Desarrollo el método de mínimos cuadrados

La expresión general del método de mínimos cuadrados está basada en la ecuación de una recta: y = mx + b.Aquí, “m” corresponde a la pendiente y “b” al punto de corte, y podemos ver su expresión de la siguiente manera:

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Σ es el símbolo que indica la sumatoria de todos los términos, mientras que (x, y) son los datos en estudio y “n” es la cantidad de datos que existen. El método de mínimos cuadrados calcula desde los N pares de datos experimentales de (x, y) a los valores de “b” y “m”. Esto es con el objetivo de conseguir aquellos puntos que se ajusten mejor a los datos de la recta. 

Al tener una serie de datos (x, y) graficados y al conectar los puntos no se forma una recta, es necesario aplicar el método. Esto se hace basándonos en la expresión general:

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El objetivo es buscar una línea que se ajuste adecuadamente que explique la posible relación entre una variable independiente y otra dependiente. En el análisis de regresión, las variables que sean dependientes pertenecen al eje vertical y las independientes al eje horizontal. Estas designaciones forman la ecuación para la línea de mejor ajuste, la cual será determinada por el método de mínimos cuadrados. 

Ejemplo del método de mínimos cuadrados

Para entender con mayor claridad la aplicación del ejemplo estaremos desarrollando un ejemplo. A continuación, encontraremos una recta con los siguientes datos:

xy
172
2105
347
419
5132
6214
755
8102
9311

Si graficamos estos puntos nos daremos cuenta que los puntos no describirán una recta en el plano. Necesitamos encontrar una recta y = mx + b.Para esto, aplicamos el método de mínimos cuadrados, siendo el primer paso centrar el valor (x y):

xy(x y)
17214
210550
34728
4199
513226
621428
75525
810220
931133

Posteriormente, podemos obtener el valor de x2 y colocarlos en la tabla: 

xy(x y)x2
1721449
210550100
3472816
41991
513226169
6214284
7552525
810220100
9311339

Ahora solo debemos sustituir los valores en las expresiones que fueron presentadas previamente:

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La recta que se obtiene de este procedimiento del método de los mínimos cuadrados es la siguiente: 

y = (-0,84) x + 11,48

Podemos ver que, al graficarla, esta recta corta en el eje “y” en el punto 11,48;  mientras tanto, el corte en el eje “x” se da en el punto 13,57. Para averiguar con exactitud el punto donde la recta corta al eje “x” podemos hacer igualar la ecuación de y = 0 y despejar la “x”:

0 = (-0,84) x + 11,48

x = –11,48/-0,84

x=13,57

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