Multiplicación de vectores

Los vectores

Para la física y matemática los vectores son conocidos como aquellos objetos geométricos que poseen una magnitud y dirección. Estos son los enlaces, represión de un segmento de recta que pueden ser utilizados para expresarlos en un espacio tridimensional o bidimensional.  

Estos segmentos de líneas también reciben otros nombres como vectores geométricos o vectores espaciales. Además, con ellos pueden ser hechas diferentes operaciones matemáticas como suma, resta y multiplicación. La utilización de los vectores radica en su mayoría en la representación de magnitudes en el plano cartesiano. 

El ejemplo más común es la velocidad. Al ser una magnitud vectorial, esta es presentada como un vector para indicar su valor y dirección en el espacio. En términos más básicos, los vectores serían las líneas rectas que tienen una orientación indicada por una flecha dibujada en uno de sus extremos.  

Para la representación de vectores en expresiones matemáticas se utilizan dos letras, una que indica su origen y otra utilizada para señalar su extremo. Por ejemplo, podríamos decir que tenemos un vector OP, donde O representa el origen del vector y P es su extremo. Sin embargo, en ocasiones un vector puede ser representado por una única letra.

Multiplicando vectores

La multiplicación de vectores puede realizarse de dos formas diferentes. Una de ellas como producto escalar, cuyo resultado será un número, mientras que la otra es como un producto vectorial, donde el resultado será otro vector.  

Cuando multiplicamos dos o más vectores, es importante determinar si lo que queremos es un producto que tenga una cantidad escalar o una cantidad vectorial. Por supuesto, la técnica que utilizaremos para obtener un resultado va a depender de nuestra respuesta a la pregunta. 

Por un lado, tenemos el producto escalar, también conocido como producto punto. Mientras tanto, al producto vectorial también se le conoce con el nombre de producto cruz. Los productos tienen resultados y procesos diferentes. Es por esta razón que necesitamos entender lo que el producto punto y el producto cruz representan.

Producto escalar o punto

El producto escalar consta de una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual dimensión para retornar un único número. Sea C=(Cx, Cy, Cz) y D=(Dx, Dy, Dz) el producto escalar de dos vectores definidos de la siguiente manera:

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Aún así, podemos expresar al producto escalar de otra manera, que sería la siguiente:

 

En esta expresión observamos que CyDson los módulos de los vectores A y B. Por otro lado, es el ángulo que existe entre ambos vectores. Es necesario destacar que el producto escalar siempre dará como resultado un número real., Multiplicación de vectores, Estudianteo

Ejercicios de producto escalar de vectores

  • Determinaremos el producto escalar para los siguientes vectores: C=(4,8,2) y D=(-4, 6,10). Podemos observar que para el vector C, el componente “x” tiene un valor de 4, “y” es 8 y “z” vale 2. Para el vector D, -4 es el valor del componente “x”, “y” es 6 y “z” vale 10. Tomando esta información, el producto escalar será: 

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  • Ahora, determinaremos el producto escalar de C=(5,7) y D=(-1,-3), donde existe un ángulo entre ambos de 60°. Observamos que para C, su componente “x” es 5, y su componente “y” vale 7. Por otro lado, para el vector D, su componente “x” es -1, mientras que su componente “y” es -3. Con esta información el producto escalar será: 

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Primero debemos calcular el módulo de ambos vectores. Para el vector C sería lo siguiente: 

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Aplicaremos el mismo proceso para el cálculo del módulo del vector D

, Multiplicación de vectores, Estudianteo

Por lo tanto: 

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Producto vectorial o cruz

El producto vectorial es una operación binaria entre 2 vectores que se encuentran en un espacio de dimensión. Este tipo de operación resulta en un vector perpendicular a los vectores que se están multiplicando. Este tipo de operaciones, utilizada con frecuencia para resolver estos problemas de origen matemático o físico.

SeaC=(Cx, Cy, Cz) y D=(Dx, Dy, Dz) el producto vectorial de dos vectores definidos de la siguiente manera:

D = (CzDzCzDy) î + (CxDzCzDx) ĵ + (CxDy –  CyDx) k

Multiplicaremos las magnitudes de los vectores C y D, y a su vez las multiplicamos por el seno del ángulo que forman los vectores. Esto se hace para obtener la magnitud del producto vectorial o de cruz, el cual sería: 

D =CD sinθ

En esta expresión, CyDson los módulos de los vectores C y D. Allí también se encuentra el ángulo formado por ambos vectores, representado por 

Ejercicios de producto vectorial o cruz

Determinaremos el producto vectorial donde C=(6,8,10) y D=(-2,3, 8). En el vector A tenemos que “x” vale 6, “y” 8 y “z” equivale a 10. Mientras tanto, en el vector D, “x” es -2, “y” es igual a 3 y “z” vale 8. Con estos datos, el producto vectorial sería el siguiente: 

D = (CzDzCzDy) î + (CxDzCzDx) ĵ + (CxDy –  CyDx) k

C · D = (88-103) î + [68-10(-2)] ĵ + [63-8(-2)] k

D=  (64-30) î + (48+120) ĵ + (18 + 16) k

D= 34 î + 68 ĵ + 34 k

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