Números reales: propiedades y cuales son (con ejemplos)

Los números reales

Este es un término que se usa, normalmente, en matemáticas y se refiere a esos números en los que se deben incluir los racionales sin importar si son negativos, positivos o el cero. Además de incluir también los números irracionales, pudiendo también tomar en cuenta los trascendentes y los números algebraicos. 

Los números reales se pueden construir o describir de diferentes maneras, unas resultan mucho más simples y fáciles de entender que otras. Sin embargo hay que tener en cuenta que algunas de estas formas carecen de rigor, es decir que no tienen el carácter que se necesita para asuntos de la matemática formal. En este caso las formas que parecen algo complejas son las más recomendables pues ellas sí tienen el rigor que se necesita para los trabajos de matemática formal. 

Los número reales fueron creados a partir de una necesidad que comenzó a hacerse mucho más fuerte en los siglos XVI y XVII. Durante ese periodo de tiempo se vio un gran avance en lo que  cálculo se refiere pero no tenía una base de datos que fuera rigurosa. Esto porque en ese momento no disponían de algún fundamento que fuera lógico, que era lo que se exigía en aquel entonces.

En su lugar se usaban algunas expresiones que no eran precisas que provocó algunos problemas lógicos. Esto confirmó aún más la necesidad de crear alguna base de datos que tuviera la suficiente rigurosidad para trabajar en matemática. Fue entonces que se creó el número real siendo toda una base de datos que contaba con elementos y definiciones rigurosas. 

Propiedades de los números reales

En la suma

  • Propiedad interna: Esta es una de las propiedades de los números reales que es realmente fácil. Lo que establece es que el resultado que se obtiene de la suma de dos  números reales viene a ser otro número real. 

Por ejemplo: 

2 ∈ R,  4/5 ∈ R →  2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R

-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R

  • Propiedad asociativa: Esta propiedad que se establece en la suma de números reales dice que al tener dos o más números que sean sumandos, no importa el orden en que se efectúen las sumas. Es decir que se puede hacer primero la b y después la a o se puede hacer en orden como a, b, y luego c. 

Por ejemplo: 

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033.

  • Propiedad conmutativa: Aplicar esta propiedad en las sumas de números reales es muy sencillo pues establece que no importa el orden que los sumandos puedan tener pues la suma nunca será alterada. 

Por ejemplo: 

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3 

15,87∈ R, –2.35 ∈ R   →15.87 + (–2.35) = –2.35 + 15.87.

En la resta

En el caso de las restas se debe tener especial cuidado con las reglas de los signos. A continuación se explican algunas de ellas. 

  • En el caso de que sean positivos el minuendo y el sustraendo, siendo el minuendo el número mayor, se debe proceder a realizar la resta obteniendo como resultado un número positivo. 

Por ejemplo: 

28.7 – 11.2 = 17.5

  • Presentándose el mismo caso anterior pero con el minuendo siendo menor, entonces se realiza la sustracción obteniendo como resultado un número negativo.

Por ejemplo: 

11.2 – 28.7 = –17.5

  • Puede que se presente el sustraendo positivo y el minuendo negativo. En este caso lo que se debe hacer es una suma y colocarle en el resultado el signo negativo. 

Por ejemplo: 

–28.1 – 11.2 = –39.3

  • Otro dato importante es que al restar un número que sea positivo se da el mismo caso que al sumarlos. 

Por ejemplo: 

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

Propiedades de la multiplicación

  • La propiedad interna: Aquí lo que establece es que siempre el resultado será un número real si la operación es con número reales. 

Por ejemplo: 

4 • 9 = 36 ∈ R

3/4 • 5/7 = 15/28  ∈ R

  • La propiedad asociativa: Esta es la propiedad en la que se establece que si se multiplican tres o más números reales dados, El resultado será el mismo. Esto sin importar la manera en la que se haga la multiplicación o se agrupen los términos. 

Por ejemplo: 

2 • (3 • 4) = 24  → (2 • 3) • 4 = 24 

  • La propiedad conmutativa: Aquí en esta propiedad se dice que si se multiplican dos números que sean reales pero en órdenes diferentes, se obtendrá siempre el mismo resultado.

Por ejemplo: 

3 • (-8) = (-8) • 3

(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) •  (-2 / 3)

Propiedades de la división

En el caso de las propiedades en las divisiones, se puede decir que no son satisfactorias porque no se pueden aplicar, al menos no todas de ellas. Entonces se puede decir lo siguiente: 

  • No es conmutativa porque si se cambia el orden de los número el resultado también será diferente. 

Por ejemplo: 

10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2

  • No puede ser asociativa porque 10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2
  • En el caso de la aplicación de los signos, se aplican las mismas normas que con las multiplicaciones. 

 

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