Potenciacion de fracciones, ¿Qué es y cómo se calculan?

¿Qué es la potenciación?

La potenciación es una operación matemática entre dos términos, los cuales se denominan: base y exponente. Esta operación se escribe y se lee comúnmente como «a elevado a la n», que se denominan base y exponente, pero su definición varía dependiendo del conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Existen ciertos números exponentes especiales, como el 2, que se lee al cuadrado, y el 3, que se lee al cubo. La potencia es el resultado de la operación.  

Existen conjuntos numéricos variados, y cada uno posee una forma distinta de exponente, como por ejemplo: el exponente entero, el exponente racional, el exponente real y el exponente complejo. Cada uno con sus propiedades que lo hacen diferente a los demás de forma total.

Tipos de potencia

  • Potencias de base natural y exponente natural, en cuyo caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el exponente.

Ejemplos: 32; 53; 72.

  • Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural, donde el exponente nos indicará las veces que debemos multiplicar por sí mismos al numerador y el denominador de la fracción. 

Ejemplo: (2/4)3 : (2/4)2 = (2/4)3-2 = (2/4)1.

  • Potencia de base decimal y exponente natural, en la cual transformaremos el decimal a fracción y luego multiplicaremos la fracción por sí misma las veces que nos indica el exponente.

Ejemplo: (0,2)2 = 0,2 x 0,2 = 0,04

  • Potencias de base entera y exponente natural, donde multiplicaremos el entero por sí mismo las veces indicadas por el exponente, en el caso de enteros positivos se resolverá de la misma forma que los números naturales, y en con negativos el resultado será positivo si el exponente es par y negativo de ser el caso contrario.

Ejemplo: (-2)4 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = 16

  • Potencias con base 10, en el que el resultado siempre será un 1 acompañado de los ceros que nos indique el exponente. 

Ejemplos: 103, 104.

¿Qué son las fracciones?

En matemática, una fracción, o número fraccionario, es la expresión de una cantidad que se divide entre otra cantidad. Es decir, que representa un cociente que no se efectúa de números.

Por cuestiones históricas se les ha denominado con distintos nombres, como fracción común, fracción mixta o fracción decimal. Las fracciones están compuestas de dos números separados por una denominada línea fraccionaria. El de arriba es el numerador y el de abajo el denominador, que señala la cantidad de parte en la que se dividirá un número entero. 

Tipos de fracciones

  • Fracciones propias, en las cuales el numerador es mejor al denominador, por ejemplo: 2/3, 1/3, 3/4, 2/7 son fracciones propia. 
  • Fracciones impropias, en este caso el numerador es de mayor o igual valor que el denominador. Por ejemplo: 4/3, 11/4, 7/7, 9/9, 10/6 son fracciones impropias.
  • Fracciones mixtas, estas fracciones constan de una parte entera y otra parte fraccionaria, por ejemplo: 5 4/3, 1 1/3, 2 1/4, 16 2/5.

Potenciación de una fracción

Lo que denominamos como potenciación de una fracción es el resultado de multiplicar por sí mismo, tantas veces como se indique por el exponente, a una fracción. Por lo tanto, para elevar una fracción a una potencia, se elevará todos y cada uno de sus términos a dicha potencia. 

Una de las cosas que debemos tomar en cuenta a la hora de realizar la potencia de una fracción es la regla de los signos de multiplicación de números enteros. 

Propiedades de la potenciación

  • Todo producto de la potencia es igual a su base: Al multiplicar las potencias de las fracciones de igual base, se suman los exponentes y con ello se conserva la misma base. 
  • El cociente de las potencias es igual a su base: Para poder dividir potencias de fraccionas cuya base es igual, deben restarse los exponentes y con ello conservarse la misma base.
  • Potencia de una potencia de una fracción: La potencia de la potencia de una fracción, es otra potencia de ese mismo número con un exponente igual al producto.
  • Potencia de una fracción con exponente entero negativo: Cuando el exponente es un número entero negativo, al igual que cuando el exponente es cero, la definición del inicio de la potenciación carece de sentido, ya que no tiene lógica multiplicar un número por sí mismo un número negativo de veces. 
  • La potencia de una fracción que posee un exponente entero negativo, es igual a otra fracción que tiene el mismo exponente con el mismo número de exponente positivo, cuyo orden se encuentra invertido. 

Propiedades de la fracción

  • Toda fracción que es elevada a la 0 da como resultado 1,
  • Toda fracción elevada a la 1 tiene como resultado a la misma fracción.
  • La propiedad conmutativa, que nos dice que la suma de dos fracciones no se ve afectada por el orden de sus sumandos. Podemos sumarlas en el orden que queramos. 

Ejemplo: 1/2 + 3/2 = 4/2 ; 3/2 + 1/2 = 4/2

Entonces: 1/2 + 3/2 = 3/2 + 1/2 

  • La propiedad asociatival, la cual explica que la suma de varias fracciones no dependen del orden en que se asocien. Es decir que cuando tenemos sumas de varias fracciones, se puede empezar a sumar las fracciones donde nosotros queramos.

Ejemplo: 5/8 + 2/8 + -3/8

(5/8 + 2/8) + -3/8 = 7/8 + -3/8 = 4/8

5/8 + (2/8 + -3/8) = 5/8 + -1/8 = 4/8

Entonces:  5/8 + 2/8 + -3/8 = (5/8 + 2/8) + -3/8 = 5/8 + (2/8 + -3/8)

 

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