Propiedades de la sumatoria y ejercicios resueltos

¿Qué son las propiedades de la sumatoria?

La sumatoria, que también se puede conocer bajo el nombre de sumatorio, operación de suma, notación sigma o símbolo suma, es un término utilizado en matemáticas para realizar varias operaciones. 

Por ejemplo es común su uso en representaciones de sumas cuando se utilizan varios sumatorios, de esta manera se simplifica el método de resolución de las mismas. Su forma común de representación es un símbolo o, mejor dicho,  letra del alfabeto griego que se conoce como sigma mayúscula .

¿Cómo se usa la sumatoria?

En términos simples podemos decir que la sumatoria o sumatorio se utiliza en casos en los que queremos evitar usar en las sumas demasiados sumandos. Esto es lo que se conoce como sumandos infinitos, lo común es usar los puntos suspensivos y también se puede aplicar la sumatoria. 

Por ejemplo: 

i=1nXi

Esta expresión que acabamos de ver se lee: sumatoria de Xi siendo i la representación de todos los valores de 1 a n. En esta representación podemos ver entonces que i está representando el límite que existe en el lado superior.

Por su parte n está representando el límite pero en este caso el que corresponde al lado superior. 

Esta sumatoria puede simplificarse en el caso que la totalidad de sus valores sea abarcada por la sumatoria. Entonces quedaría como se muestra a continuación: 

i=1nXi  = Xi.

Estas sumatorias son de uso muy común sobre todo en temas estadísticos. 

Uso de la sumatoria en estadísticas

En este caso se expresa la sumatoria en las frecuencias absolutas como se muestra a continuación: 

  • f1 + f2 + f3 + … + fn = N
  • i=1i=n fi = N

De igual manera la media se debe expresa:

  • X =X1F1+X2f2 + x3f3 + … + XnFnN
  • X =i-1 nXiFiN 

Ejemplo

Se realizó un test en un grupo de 42 integrantes de los cuales se han obtenido las puntuaciones que dejamos a continuación en la tabla. Calcula la media tomando esos datos. 

 

xi fi Xi fi
[10, 20) 15 1 15
[20,30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40,50) 45 9 405
[50,60) 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70,80) 75 2 150
xi = 42 xi fi = 1 820

X =1 82042= 43.33

¿Cuáles son las propiedades de las sumatorias?

  • La adición del resultado que se obtiene de una constante por una variable, viene a ser exactamente el mismo  k  de veces de la sumatoria de la misma variable. Se representa de la siguiente manera: 

i=1nK Xi  = K i=1nX

  • La suma de hasta N que se obtiene de una constante, es la misma N veces esa constante. La fórmula de esta propiedad es la siguiente:

 i=1nK = NK

  • La sumatoria que se obtiene de una suma viene a ser la misma que se obtiene en la suma de las sumatorias de cada uno de los términos. A continuación se presenta esta fórmula: 

i=1n(Xi  + Yi) =  Xi  + Y

  • El sumatorio que se obtiene de un producto no es exactamente igual al que se obtiene de las sumatorias hechas a cada término Se muestra la fórmula en seguida: 

i=1nXi   YiXi   Y

  • La sumatoria de los cuadrados de todos los valores que tiene una variable, no son exactamente iguales a la sumatoria de esa misma variable pero elevado al cuadrado. Por ejemplo: 

Xi2  +( Xi )2.

Otras propiedades de la sumatoria

  • n=s t c f(n) = cn=s t f(n) Vemos aquí que c viene a ser una constante.
  • n=s t f(n) + n=s t g(n) =n=s t f(n) + g(n)
  • n=s t f(n) – n=s t g(n) =n=s t f(n) – g(n)
  • n=s t f(n) = n=s+p t+p f(n-p)
  • n=s j f(n) + n=s+1 t f(n) =n=s t f(n)
  • nA f(n) = n(A) f(n)  Esta es válida para un conjunto A finito. En este caso vemos que está representando lo que es una permutación del mismo A.
  • i=k0 k1 j=l0 l1 aij =j=l0 l1i=k0 k1
  • n=0 t f(2n) + n=0 t f(2n+1) =n=0 2t+1 f(n)
  • n=0 t i=0 z=1f(zn+i)=n=0 zt+z=1 f(n)
  • n=s jln  f(n) = lnn=st  f(n) 
  • cn=stf(n)= n=stcf(n)

Ejercicios resueltos con el uso de sumatorias

Ejercicio 1

Desarrolla las sumatorias que se dejan a continuación: 

  • 1=2 6xi

Resultado: = x2 + x3 + x4 + x5 + x6

  • j=3 5xj

Resultado: = x3 + x4 + x5

Ejercicio 2

Calcula las sumatorias siguientes:

  • i = 1 53

Resultado: = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

  • 1 = 2 6i

Resultado: = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 10

Ejercicio 3

Desarrolla la sumatoria que dejamos a continuación: 

  • x = 1 nx (x – 1)

Resultado: x = 1nX (X – 1) = 1(1  1) + 2(2 – 1) + 3(3 – 1) + 4(4 – 1) + … + (n – 1)(n – 1) – 1 + n(n – 1) =

 = 10 + 21 + 3 2 +43 +… +(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) 2) + n(n – 1)

= 0 + 2 + 6 + 12 +  … + (n –2) + n(n – 1)

 

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