Qué es la esperanza matemática, propiedades y ejemplos

¿Qué es la esperanza matemática?

Este es un término que se comenzó a usar en referencia a los juegos que son de azar. En este sentido se dice que la esperanza matemática es un término que se utiliza para decir cuál es la ganancia que espera obtener ese jugador al momento de hacer las apuestas.

En términos matemáticos sabemos que se conoce también como el valor esperado de una variable x. Se trata del resultado que se obtiene de sumar  la probabilidad de un evento y el valor que tiene dicho evento.

Por ejemplo en esos casos en los cuales la esperanza matemática es 0, E(X)=0, entonces el juego del que se está hablando es equitativo. Esto quiere decir que no hay ventaja alguna para todos los jugadores, ni para los que están en la banca. 

Matemáticamente la esperanza matemática se representa como se muestra a continuación: 

μ=E(X) = ∑ xi. P(xi) = x1.P(x1) + x2.P(x2) + x3.P(x3) +…

Aquí vemos que la x es ese valor que tiene el evento por lo que p(xi) la probabilidad de que ocurra. Este resultado que se obtiene de las sumatorias, es aplicable para todos los valores para los cuales X es admitido. 

Las propiedades de la esperanza matemática

En los ejercicios de esperanza matemática se hacen uso de muchas propiedades que ayudan a resolver dichos ejercicios. Entre todas estas propiedades existen algunas que se consideran las más importantes. Estas son las que se dejan a continuación.

El signo

En esos casos en los cuales la x sea positiva, entonces la esperanza matemática también lo será. Esto es una ley que se debe aplicar en todos los casos. 

El valor esperado de una constante

Aquí puede que estés frente a una de las propiedades de la esperanza matemática que se aplica más fácilmente.

En esta propiedad se establece que el valor esperado de una constante viene a ser igual que la misma constante. Esto lo representamos matemáticamente de la siguiente manera: 

E(k) = k.

La linealidad en la suma

Cuando hablamos de la esperanza matemática de una variable que es aleatoria, estamos haciendo referencia a esa en la cual podemos sumar dos variables obteniendo como resultado la suma de las esperanzas. Por ejemplo: 

E(X+Y) = E (X) + E (Y)

Multiplicación por una constante

Al nombrar las multiplicaciones por constantes,  estamos haciendo referencia a que si, por ejemplo la variable aleatoria viene a ser  kx (que es una forma en la cual k viene a ser la constante, es decir, un número real).

Entonces Vemos que este término debe quedar fuera de lo que es el valor esperado. Por ejemplo: 

E(kx) = k E(x).

El valor esperado del producto y la independencia entre las variables

En este caso podemos ver que si, por ejemplo,  se tiene una variable que es aleatoria la cual es el resultado de las variables X y Y que vienen siendo también independientes. Entonces podemos comprender que la esperanza matemática de este producto es el mismo producto que se obtiene de los valores esperados. 

Por ejemplo: 

E(X.Y) = E(X).E(Y)

La variable aleatoria de la forma Y= aX + b

Aquí podemos encontrarla solamente aplicando todas las propiedades que ya hemos visto antes. 

Por ejemplo: 

E(aX+b) = aE(X) + E(b) = aE(X) + b

En general, si Y = g(X):

E(Y) = E[g(X)] = ∑ g(xi). P[g(xi)

El orden en el valor esperado

Podemos considerar que si x es igual o menor que Y entonces quiere decir lo siguiente: 

E (X) ≤ E (Y)

Esto es así tomando en cuenta entonces que para cada una de estas existen los valores esperados. 

Ejemplos

COn la idea de hacer mucho menos complejo los conceptos que están alrededor de lo que es la esperanza matemática, se han preparado algunos ejemplos que se dejan a continuación.

Primer ejemplo

Al lanzar un dado ¿Qué valor se espera obtener el el lanzamiento? Siendo un dado honesto, de esso que tienen seis caras, existe una probabilidad tal de que sea un valor cualquiera. Entonces: 

(X = 1, 2, 3, 4, 5 o 6) se representa también 1/6 De modo que: 

E(X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

En este caso observamos que la esperanza matemática es la misma que el promedio pues cada cara tiene las mismas posibilidades que las otras seis de poder salir. Sin embargo E(X) no puede ser un valor puesto que ninguna cara del dado tiene un valor igual a 3.5.

Es uno de esos casos en los que este procedimiento de cálculo no representa una gran ayuda pues todas las opciones tienen exactamente las misma probabilidades. 

Segundo ejemplo

Si al lanzar al aire un par de monedas honradas en donde podemos calcular variables aleatorias X según el número de caras que se puedan obtener. Se pueden presentar los siguientes eventos: 

  • No sale cara en ninguna moneda. Lo que es igual a decir que 0 caras son 2 cruces.
  • Sale una y una. Es decir, una moneda arroja cara y la otra arroja sello o cruz. 
  • Las dos monedas arrojan caras. Lo que sería igual entonces a 2 caras. 

Ya sea la C una cara y en este caso la T sea un sello o cruz, tenemos como espacio muestral el siguiente: 

Sm =  {Sello-Sello; Sello-Cara; Cara-Sello; Cara-Cara}= {TT, TC, CT, CC}

Entonces decimos que las probabilidades serían: 

P(X=0)=  P(T).P(T) = ½ . ½ = ¼

P(X=1) = P(TC) + P(CT) = P(T).P(C) + P(C).P(T) = ¼ +¼= ½

P(X=2) = P(C).P(C) = ½ . ½ = ¼

X 0 1 2
P(X) 1/4 1/2 1/4

Aplicamos entonces la fórmula dada al principio, pero ahora sustituyendo los símbolos por valores reales: 

E(X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Entonces podemos interpretar este resultado considerando que, si una persona realiza muchos experimentos lanzando al aire las dos monedas, se espera que las monedas arrojen una cara cada vez que sean lanzadas.

Tomando en cuenta que habrá lanzamientos en los que las monedas arrojen dos cruces o dos sellos. 

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *