Qué es la factorización en números enteros y polinomios

¿Qué es la factorización?

En términos estrictamente matemáticos, se conoce como una factorización a la acción o técnica de descomponer algún factor o expresión algebraica y convertirla en un producto. Estas expresiones algebraicas pueden ser sumas, restas, una matriz, un polinomio,  un número y algunas más. Para lograr una factorización efectiva se pueden aplicar varios métodos que van de acuerdo a los objetos matemáticos que se estén estudiando. Su objetivo principal es, como en todas las operaciones matemáticas, buscar hacer las expresiones mucho más simples y entendibles. 

De igual manera uno de sus objetivos también es el poder reescribir ciertas operaciones, todo esto con la idea de hacer cada proceso mucho más fácil de entender y de explicar. Es por esto que toman el término de factores o bloques fundamentales, por ejemplo en el caso de los números que pasan a ser números primos o de un polinomio que se convierte en polinomio irreducible. 

La expansión en el caso de los polinomios es todo lo contrario a la factorización. En el caso de los números enteros, la factorización  es cubierta por el teorema fundamental de la aritmética y el teorema fundamental del álgebra cubre la factorización de los polinomios. En algunos casos se requiere de algoritmos, sin embargo esto es así cuando se trata de un número entero muy extenso. 

Historia de la factorización

Es muy común que los estudiantes de las factorizaciones se sorprenden al conocer que este es un método relativamente nuevo en las matemáticas. Estos estudiantes son los que han tomado esto como un método para solucionar las operaciones matemáticas de forma mucho más fácil. 

El gran matemáticos Vera Sanford, se sorprende al ver el  énfasis que ha ganado la solución de ecuaciones cuadráticas por factorización, sabiendo que este método no se utilizó hasta  el año 1631. Esto lo hace un método nuevo dentro de lo que es la matemática. Harriot, quien fue el que publicó ese primer trabajo donde se usaba la factorización, fue capaz de usar este método para dar solución a problemas considerados difíciles de resolver. Se convirtió entonces en uno de los referentes de este método de factorización.   

Factorización en número enteros

En el caso de los números enteros la factorización es un proceso en el que un número es descompuesto en uno o varios números divisores. Estos número tienen que ser capaces de  que al multiplicarlos den como resultado el mismo número que se busca descomponer. En el caso de aquellos términos en los que se emplean muchos números, entonces puede que resulte un poco complejo. Por ejemplo, hace un tiempo tardaron año y medio meses en descomponer un número de 200 dígitos. La factorización puede que se haya convertido en un asunto demasiado complejo en temas relacionados con la teoría algebraica, la computación cuántica y algunos más.

Ahora, si lo que se busca es descomponer un par de número que poseen la misma longitud, entonces el proceso no es tan complicado. Se dice, según el teorema fundamental de la aritmética, que cada número entero que sea positivo existe una descomposición que es única en número primos. En este caso los algoritmos que se usan en la factorización elemental tienen un propósito a manera general. Esto quiere decir que dejan descomponer cualquier número, siendo su única diferencia sustancial el tiempo que se tome el ejecutarlo. 

Uno de los ejemplos de este tipo de factorización es en el que se busca descomponer en primos el número 864.

Factorización de polinomios

Los métodos que se usan para factorizar polinomios son sumamente fáciles, eficientes y rápidos. En este proceso, el uso de las ecuaciones cuadráticas se emplea para modelar algunas situaciones y poder luego resolverlas usando la factorización. Entonces se convierte en toda una técnica de descomposición de expresiones matemáticas que es muy usada en los polinomios. 

Cuando decimos que la factorización es simplificar las operaciones matemáticas. En el caso de los polinomios esto se convierte en transformar cada factor en un polinomio de grado mucho más pequeño. 

Por ejemplo en el caso de X2 – y = ( x +y)(x – y) Es solo una factorización de una expresión mas no una de polinomio porque cada uno de los factores no lo son. Entonces entendemos que cuando se factoriza un término que es constante no es una factorización polinómica. Esto es así porque uno de los factores no es de un grado más bajo o menos al de la expresión principal. 

El teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n que tenga de coeficiente un número que se considere complejo. Entonces se debe proceder a dividir  en factores lineales n. 

Además se explica que en el caso de un polinomio que sea P(X) que resulta ser de grado 5 puede ser factorizado como un producto de otro polinomio pero de grado 2 o de grado 3. 

Por ejemplo: 

P(X) = X5 – X3 + 69x2 – 20x + 16 = ( x3 + 4x2 – x + 1)(x2 – 4x + 16)

Ejemplos de factorización de polinomios

En estos ejemplos veremos factorizaciones simples y fáciles de aplicar. 

  • Ejemplo 1: 

Factoriza el polinomio: P(x) = x² + 3x + 2

P(x) = (x+2)(x+1)

  • Ejemplo 2: 

Factoriza el polinomio: P(x) = x² + 2x +1

P(x) = (x+1)²

  • Ejemplo 3: 

Factoriza el polinomio: P(x) = x² – 4

a² – b² = (a+b)(a-b)

También se puede representar en P(X) que sería de la siguiente manera: P(x) = (x+2)(x-2)

 

 

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