Qué es una ecuación cuadrática

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad que existe entre dos expresiones algebraicas donde podemos encontrar una o más incógnitas. Esta incógnita es escrita normalmente en la ecuación como una letra “X”, aunque podría utilizarse cualquier otra letra para hacerlo. La función de esta incógnita es la de representar la solución, o soluciones, si es que existe alguna.

Las ecuaciones son utilizadas para resolver una gran variedad de problemas matemáticos, químicos, físicos o de cualquier otro campo. Podemos observar que las ecuaciones tienen aplicaciones en distintas áreas de la vida cotidiana, como en la investigación y proyectos de ciencia.Las ecuaciones pueden clasificarse según sus grados, como es el caso de la ecuación cuadrática.

La ecuación cuadrática

Conocida también como ecuación de segundo grado, la ecuación cuadrática es aquella que, simplificada, el exponente mayor de la incógnita será “2”. Existe una expresión general que es utilizada para indicar cuando una ecuación es cuadrática, y es la siguiente: 

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Como se mencionó al principio, “x” representa la incógnita o variable de la ecuación. Por otro lado, hay otros términos en esta representación conocidos como constantes: “a”, “b” y “c”. “a” es el coeficiente cuadrático que siempre debe ser distinto a 0, mientras que “b” es el coeficiente lineal de la ecuación. La “c” representa al término independiente.

Es necesario mencionar que los coeficientes pueden tener cualquier valor, menos en el caso de “a”. Como fue establecido, el valor de este término debe ser diferente a 0, algo que no sucede con “b” y “c”. Y como sucede en cualquier tipo de ecuación, el objetivo es conseguir el resultado, y en este caso, son dos los que podemos obtener.

Tipos de ecuación cuadrática

Dependiendo de la estructuración de la ecuación de segundo grado, esta puede clasificarse en dos tipos: completa e incompleta. De estas depende si existen los términos dependientes de “X”, es decir, “b”. O si se presenta la ausencia del término independiente “c”.

Ecuación cuadrática completa

Se dice que una ecuación cuadrática está completa cuando esta contiene todos los términos que se presentan en la estructura general. Lo que esto quiere decir es que la ecuación tendría la siguiente forma: 

ax2 + bx + c =0 

Por ejemplo:

2x2 + 5x + 8 =0 

En este ejemplo podemos identificar que: a = 2; b = 5; c = 8. Y ya que todos los términos se encuentran presentes, podemos decir que estamos ante una ecuación cuadrática de segundo grado.

Ecuación cuadrática incompleta

Se denomina incompleta a una ecuación cuadrática cuando esta carece de “x”, es decir, el término “b”. En tal caso, la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado tomaría la siguiente forma.

ax2+ c =0 

Por ejemplo:

5x2+ 15 =0 

18x2+ 3 =0

En el primer ejemplo podemos observar que para a = 5, mientras que para c =15. En el siguiente ejemplo a = 18 y c = 3. Ambos ejemplos son representaciones de una ecuación cuadrática incompleta cuando el término b no se encuentra. Sin embargo, también están aquellos casos donde el término independiente “c” es la parte ausente. L estructura de la ecuación quedaría tal que:

ax2 + bx=0 

Por ejemplo:

50x2 + 15x =0

36x2 + 12x =0

Para el primer ejemplo a = 50 y seguidamente b = 15, mientras que el término independiente se encuentra ausente. Lo mismo le sucede a “c” en el segundo ejemplo, aunque a = 36 y b = 12, el término independiente no se halla, por lo que se denomina a esta ecuación como incompleta.

Solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado

Cuando se trata de la resolución de una ecuación de segundo grado debemos tener en cuenta que este tipo de operaciones cuentan con dos raíces. Estas raíces son los valores de las incógnitas que encierra la ecuación, por lo tanto, al resolverlas, estamos buscando esas raíces.

Estas incógnitas son calculadas con una herramienta conocida como “fórmula general”, mostrada a continuación:

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Cada letra que encontramos dentro de la fórmula representa a los términos correspondientes de la ecuación cuadrática. Dentro de la raíz podemos encontrar una expresión la cual es denominada como “discriminante de la ecuación cuadrática”. Esta es la siguiente: b2 – 4 (a) (c).

También encontramos el signo “”, el cual se encuentra previa a la discriminante. Cuando se necesita encontrar el valor de las incógnitas, en un caso se hará una suma, mientras que en el otro se restará. Por esta razón es que se habla de dos raíces como resultado de una ecuación cuadrática.

Existen algunos factores que se deben tener en consideración cuando se realiza el cálculo de la discriminante. Estos nos pueden ayudar a tener una idea del resultado de la ecuación cuadrática aún antes de realizar el procedimiento del cálculo completamente. Estos factores son los siguientes: 

  • Si b2 – 4 (a) (c) = 0entonces solamente existe una raíz para la ecuación de segundo grado. 
  • Si b2 – 4 (a) (c) > 0 entonces las raíces de la ecuación pertenecen a los números reales.
  • Si b2 – 4 (a) (c) < 0 entonces no existe una solución dentro de los números reales para la ecuación.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática 

Para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula general se debe proceder de la siguiente manera:

  • Lo primero es identificar a cada uno de los términos dentro de la ecuación de segundo grado.
  • Posteriormente, en la fórmula general se sustituyen las letras por los valores de cada uno de los términos.
  • Una vez que se ha calculado, se procede a calcular x1sumando la discriminante, y x2restando al discriminante.

A continuación, presentaremos un ejemplo de cómo resolver una ecuación cuadrática con la fórmula general:

Resolver 3x2 – 5x + 2 = 0

Los coeficientes son: a = 3; b = -5 y c = 2.

Se sustituyen en la fórmula general:

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