Seno, Coseno y Tangente: definiciones, gráficas, identidades trigonométricas básicas y ejemplos

Seno, coseno y tangente

Antes de entrar de lleno a definir cada uno de estos términos, es necesario poder explicar dónde se consiguen cada uno de ellos.

Existe el triángulo que se conoce como el triángulo rectángulo el cual está constituido por un solo ángulo de 90º y los otros dos ángulos son agudos que tienen, cada uno, las funciones correspondientes de seno, coseno y tangente. Es decir que dos de los tres catetos del triángulo rectángulo pertenecen al seno, coseno y tangente de ese triángulo en específico.

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Ahora sí decimos que el seno de uno de los ángulos corresponde al largo que hay entre el cateto opuesto de dicho ángulo dividido por el total del largo perteneciente a la hipotenusa. El coseno del ángulo viene siendo la razón que hay entre el largo de un cateto adyacente del mismo ángulo que es dividido por el total del largo de la hipotenusa.

La tangente del ángulo corresponde a la razón que hay entre el largo del cateto opuesto de dicho ángulo que ha sido dividido entre el largo correspondiente al lado adyacente del ángulo. Además debemos recordar también que los catetos corresponden a los lados que forman parte del ángulo recto del triángulo rectángulo y la hipotenusa es el lado que resulta más largo.

Gráficas de seno, coseno y tangente

Gráficas de seno

Este tipo de gráfica se puede mostrar de la siguiente manera:

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En este caso podemos notar las propiedades que corresponden a la función seno, y = sin x, explicadas a continuación:

  • Dominio:( -,)
  • Rango: or – y 1
  • intercepcón en y: (0,1)
  • Intercepción en x: , en donde n es equivalente a un número entero.
  • Período: 2
  • Continuidad: Se mantiene en ( -,)
  • Simetría: Origen (función impar)
  • Valor máximo de y es igual a sin x, esto pasa cuando x = + 2
  • Valor mínimo de y es igual a sin x y esto pasa cuando x = + 2
  • Periodo: El periodo viene a ser la longitud que hay en el intervalo que es más corto situado en el eje de las x sobre el que se repiten las gráficas.

Gráfica del coseno

Siguiendo con el ejemplo anterior, podemos decir que las gráficas de la función de un coseno se muestra de esta manera:

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Entonces podemos ver las siguientes propiedades de la función coseno, y = cos x:

  • Dominio:( -,)
  • Rango: or – y 1
  • intercepcón en y: (0,1)
  • Intercepción en x : (, 0) en donde n es igual a un número entero.
  • Período: 2
  • Continuidad: Se mantiene en ( -,)
  • Simetría: Eje de las y (función par)
  • Valor máximo de y es igual a cos x, esto pasa cuando x = 2
  • Valor mínimo de y es igual a cos x y esto pasa cuando x = 2
  • Amplitud: La amplitud que pertenece a la gráfica y = a cos bx es igual a la cantidad que varía por encima y por debajo del eje de las x.
  • Período:De igual manera su período viene siendo la longitud que hay en el intervalo más corto que hay en el eje de las x pero sobre la que esta gráfica se repite.

 

Gráficas de tangente

Las gráficas de una tangente se pueden representar de la siguiente manera:

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Donde obtenemos las siguientes propiedades, y = tan x

  • Dominio: R, + n
  • Rango: ( -,)
  • Intercepcón en y: (0,0)
  • Intercepción en x : n, teniendo a n como un número entero.
  • Período:
  • Simetría: Origen (función impar).
  • Esta función no goza de una amplitud por no tener valor mínimo o máximo. Entonces podemos decir que el período de la función tangente, y = a tan bx, corresponde a la distancia que hay entre cualquiera de las dos asíntotas verticales que están consecutivas.

 

Identidades trigonométricas básicas

Estas identidades son igualdades que tienen que ver con las funciones trigonométricas que se usan de manera frecuente para esos momentos en los que se necesita simplificar las expresiones que incluyen alguna de estas funciones trigonométricas, sin importar los valores que tengan asignados los ángulos para los cuales estas razones se encuentran definidas.

Es decir que estas identidades nos permiten hacer un planteamiento de una misma expresión pero de diferentes formas. La factorización normalmente se utiliza con la idea de simplificar las expresiones algebraicas, los denominadores comunes y algunas expresiones más. En este caso usaremos todas estas técnicas combinadas con las identidades trigonométricas en la simplificación de expresiones trigonométricas.

Las identidades trigonométricas básicas son:

  • Las identidades recíprocas son aquellas que se cumplen en cualquier ángulo en donde el denominador no es cero y son las que se muestran a continuación:

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  • Las identidades de las relaciones pitagóricas vienen del teorema de Pitágoras y se puede aplicar únicamente en los casos que sean de triángulos rectángulos pues se utilizan para poder obtener la hipotenusa de dicho triángulo, esto en caso que se conozca los otros dos lados. Estas identidades son las siguientes:

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Por ejemplo en el caso que tengamos que verificar la identidad siguiente:

cos sec = 1

Podemos obtener de manera muy fácil la solución solamente aplicando las identidades recíprocas, por lo tanto la respuesta sería:

cos sec = cos = 1

Otro ejemplo sería verificar la identidad:

(1 + sen ) (1- sen ) =

En donde podemos obtener como solución lo siguiente:

(1 + sen ) (1- sen ) = 1 – sen2

= sen2

=

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