Vector Posición

Los vectores

En matemáticas y física, un vector euclidiano, también conocido simplemente como vector, es un objeto geométrico que consta de una magnitud y dirección. En algunos casos a este objeto también se le conoce como vector espacial o vector geométrico y, según el álgebra de vectores, un vector se puede agregar a otro. 

Los vectores en la física representan al segmento de una recta, los cuales se encuentran situados en el espacio. Cabe destacar que el espacio donde se encuentran los vectores puede ser bidimensional o tridimensional. Cuando se necesita ejemplificar el uso de un vector, una de las magnitudes en las cuales se utilizan este tipo de objetos es la velocidad. 

El vector es representado a través de un segmento de recta, el cual se encuentra orientado en espacio sea tridimensional o bidimensional. Con los vectores no solamente sabemos cuánto es la velocidad, sino que también podemos ver hacia qué dirección se dirige esta magnitud. 

Básicamente, un vector es simplemente un segmento de recta que se orienta mediante una punta de flecha que se dibuja en uno de sus extremos. El origen de los vectores se llama punto A, mientras que su extremo se le conoce como punto B. 

¿Qué es un vector posición?

Con frecuencia los vectores que comienzan en el origen y terminan en cualquier otro punto arbitrario, se denominan vectores posición o vectores de posición. Este tipo de vectores son utilizados para determinar cuál es la posición de un punto con referencia al origen. 

En estos casos, la dirección del vector de posición apunta desde el origen hacia el punto que se ha dado. Según el sistema de coordenadas cartesianas, se utilizan dos letras: una que servirá para determinar el origen y la otra para determinar el punto arbitrario. Por ejemplo, podríamos tomar un vector posición cuyo origen está anotado por la letra a, mientras que la letra B es algún punto arbitrario en el plano. En este caso el vector sería entonces representado como AB.  

Los vectores de posición son utilizados para informarnos sobre la ubicación de un objeto en relación a otros. Un vector de posición es aquel que indica la ubicación o posición de un punto dado con respecto a un punto de referencia arbitrario como el origen. 

Antes de determinar el vector de posición es necesario, primero determinar cuáles son las coordenadas de ese punto. Supongamos que tenemos dos puntos B y C, donde B es igual a (X1, Y1) y C es (X2 Y2). Teniendo esta información, supongamos que queremos encontrar cuál es la dirección desde el punto B hacia el punto C, es decir, el vector BC. Para conseguir información, solamente debemos restar los componentes correspondientes desde B hasta C, con la siguiente fórmula: 

BC = (X2 X1 ; Y2Y1)

Fórmula del vector posición

Utilizando la información anterior, podemos generalizar una fórmula que nos ayuda a determinar el vector de posición entre dos puntos. Esto es, si supiéramos la posición de sus puntos en el plano cartesiano con un eje x y un eje y.  

Consideremos un punto P cuyas coordenadas son (Xk, Yk) junto con un punto Q, donde sus coordenadas son (Xk+1, Yk + 1). Para determinar el vector de posición de estos puntos, la fórmula que utilizaremos sería la siguiente:

PQ = [(Xk+1) –Xk , (Yk + 1) – Yk]

En esa ecuación, la unión de las letras P y Q representa al vector de posición. Recordemos que lo que esto indica es que su origen se encuentra en el punto P, mientras que el extremo es el punto Q. En el caso contrario, para encontrar el vector de posición desde el punto Q al punto P la fórmula quedaría escrita de la siguiente manera: 

QP = [Xk – (Xk+1)  ,Yk  – (Yk + 1)]

Ejercicios de vector de posición

Ejercicio 1

Dados los puntos A = (-8, 12) y B = (10, 24) en un plano cartesiano bidimensional, se debe calcular la magnitud del vector AB. Para realizar este cálculo utilizaremos la fórmula según los puntos que se nos ha dado para el vector de posición. La fórmula entonces para este ejercicio sería la siguiente: 

AB= (X2 X1 ; Y2Y1)

Sabemos entonces que  X1Y Y1representan las coordenadas del punto A. Mientras que  X2 y Y2 son los valores de las coordenadas del punto B. Ahora, simplemente deben sustituirse los valores de los puntos A y B en la ecuación de arriba, encontrando así la posición del vector AB

AB= [10 – (-8) ; 24 – 12]

AB= (10 + 8 ; 24 – 12)

AB= (18 ; 12)

Podemos ver entonces que tenemos ahora las coordenadas del vector posición AB. Para el eje X éste se desplaza 18 unidades hacia la derecha, mientras que en el eje Y el desplazamiento es de 12 unidades hacia arriba.

Ejercicio 2

Ahora calcularemos el valor del vector de posición BA utilizando los mismos valores para las coordenadas establecidas previamente. Esto valores serían B = (10, 24) y A = (-8, 12), para una ecuación estructurada de la siguiente manera: 

BA= (X1 X2 ; Y1Y2)

Para este ejercicio X1 y Y1representa en las coordenadas del punto A, mientras que X2y Y2representan los valores del punto B. Debemos notar que el vector de posición BA representa un vector que está dirigido desde el punto B al punto A. 

Esto es contrario a lo que sucede en el ejercicio anterior. Allí, el vector de posición que es AB, es decir, va desde el punto de origen A, hacia el extremo B. Ahora solamente debemos sustituir los valores de los puntos en la ecuación presentada. 

BA= (-8 – 10 ; 12 – 24)

BA= (-18 ; -12)

Nuevamente hemos obtenido las coordenadas de un vector de posición, en este caso el vector BA. Sabemos que su punto de extremo se ubica 18 unidades hacia la izquierda en el eje X, y 12 unidades hacia abajo en el eje Y.

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