Vectores matemática

Un vector es un objeto que tiene una magnitud y dirección en geometría, podemos representar a un vector como un segmento de línea dirigido. Este tiene una longitud que es la magnitud del vector y con una flecha que indica a la dirección a la que se dirige. Cabe destacar que la dirección de un vector se mide desde su origen o cola, hasta su extremo o cabeza. 

Se puede decir que dos vectores son iguales y éstos a poseen la misma magnitud y dirección. Lo que esto significa es podemos tomar un vector trasladarlo a una nueva posición sin rotarlo. Entonces el vector que resulta al final de este proceso, es el mismo vector que teníamos al principio. 

Las magnitudes que son representadas por los vectores son la fuerza y la velocidad. La magnitud de un vector podría indicar la cantidad de fuerza o la rapidez que se asocia con la velocidad. Para ser expresados de forma escrita los vectores son denotados o utilizando letras con una flecha o segmento de línea sobre ellas. La mayoría de las veces se utilizan dos letras donde una indica el origen del vector y la otra su extremo. 

Por ejemplo, si tenemos un vector AB significa que en punto de origen es A, mientras que la cabeza del vector es B. En otra educación es para dar más facilidad a las expresiones matemáticas que se realizan con los factores que suelen ser representados, con una única letra. Por lo tanto, podemos tener un vector Ay un vector B.

Operaciones matemáticas con vectores

Podríamos definir una serie de operaciones sobre vectores geométricamente, sin referencia a ningún sistema de coordenadas. Los lectores podemos realizar ciertas operaciones matemáticas como lo son la suma la resta y multiplicación por un escalar. A continuación, vamos a estudiar con mayor detalle cada una de estas operaciones que podemos hacer con los vectores.

Suma de vectores

Si se tienen dos vectores A=(Ax, Ay)y B =(Bx, By),la suma de ambos vectores se expresa de la siguiente manera: 

A+B= (Ax+Bx, Ay+ By)

En otras palabras, podemos decir que el vector suma de Ay B es aquel que resulta de sumar los componentes respectivos de vectores. El componente “x” se suma con el componente “x” de B así como el componente “y” de A debe sumarse con el componente “y” de B.

En su representación gráfica si Ay B son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente se debe elegir el representante de B. El origen de este mismo vector es el extremo del vector A. Posteriormente, el vector A+B es aquel cuyo origen es el origen de A, y su extremo es el extremo del vector B es decir:

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También podríamos haber elegido al representante de Atal que su origen sea el extremo de B. La suma a más Btendría el mismo resultado, pero ahora la obtendremos uniendo el origen de Bcon el extremo de A.

Resta de vectores

La resta de vectores consiste en la operación, donde se suma a un vector con el negativo de otro vector. Puesto en palabras más simples la resta doctores es la suma de vectores negativos. Para obtener un vector negativo solamente basta con tomar un vector positivo y multiplicar su valor por -1. 

Por ejemplo, digamos que tenemos un vector al cual multiplicamos por -1. Esto daría como resultado el vector A, es decir, la forma negativa del vector a. Apesar de que sus magnitudes son las mismas, el vector A apunta en la dirección opuesta al vector A

Si consideramos a los vectores A =(Ax, Ay)y B =(Bx, By),entonces la resta se expresaría de la siguiente manera:

AB=A+(-B)= (AxBx, AyBy)

En su forma gráfica, la resta de estos vectores se obtiene de igual manera que en la suma. La única diferencia que existe es que sumamos al vector opuesto de B. En la siguiente gráfica podemos observar al vector a menos AB, donde el extremo de Ase conecta con el origen de B.

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Producto de un vector por escalar

La multiplicación de un vector a por un número k se escribe de la manera kA o k·A.  El número k también se conoce como escalar y además la multiplicación por escalares otro vector que satisface las siguientes propiedades: 

  1. kA posee la misma dirección que A.
  2. Si K es de valor positivo, kA tendrá la misma dirección que A.
  3. Si es de valor negativo, entonces kA tendrá un sentido contrario al de A.
  4. E módulo de kA es k · A.

Podemos observar que en la siguiente figura tenemos la representación de una multiplicación de A por 3:

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En términos de componentes, si A =(Ax, Ay), entonces, la multiplicación por el escalar estaría dada por: kĀ =(k Ax, k Ay)

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