Ejercicios de cálculo de derivadas (Resueltos con respuestas)

Cálculo de derivadas

Desde el principio el cálculo de las derivadas se convirtió en una herramienta poderosa que hasta el día de hoy se emplea, entre otras cosas, para calcular las aceleraciones, optimizar funciones y calcular velocidades. Como un concepto más exacto podemos decir que las derivadas representan las variaciones que pudieran experimentar las funciones de manera instantánea. Esta idea de acción instantánea que parece entenderse con la derivada se puede aplicar al momento de describir algunos fenómenos naturales, científicos y hasta sociales, de ahí la importancia de conocer todos sus procedimientos y fórmulas a profundidad.

Las derivadas suelen ser un tema un tanto complejo de explicar y de entender, pero el secreto está en comprender el cálculo de las derivadas como un concepto que podemos manejar no sólo para las matemáticas, sino para todo lo que podemos hacer y ver en nuestra vida cotidiana. A menudo el estudiante suele preguntarse para qué sirven las derivadas y la respuesta es simple, las derivadas sirven para todo en la vida. En este sentido tratemos de simplificar un concepto que parece complicado pero que en realidad no lo es.

Definición de derivadas

Entendemos que la derivada de la función f (X) con respecto a la variable X, en el punto X = a es:

F1 (a) = limh 0 f (a + h) – f (a)

h

A continuación otra definición de equivalente de derivada:

F1 (a) = limx a f(x) – f (a)

X – a

Forma correcta de escribir las derivadas de las funciones

La siguiente es la única manera correcta de escribir la derivada de una función

d f (x) = d y ( x ) D fx (x)

dx dx

Pudimos ver en este ejercicio como se derivó la función f(x) con respecto a la siguiente variable X. Es correcto usar una de estas expresiones de la derivada con respecto a X. Normalmente la función que se va a derivar se le llama o representa con f ( x ) o y ( x ) aunque también es muy frecuente conseguirlas de la siguiente manera: y1 ( x ) = f1 ( x ). Las dos expresiones están dentro de lo correcto, entonces comprendemos que se pueden usar de manera indistinta en la bibliografía que ya existe, de manera que se puede afirmar que:

f1 ( x ) = d f ( x ) = df (x )

dx dx

Lo que resulta igual a esta expresión aunque depende de cómo se llame la función f(x) o y(x)

y1 (x) = d y (x) = dy (x)

dx dx

Ejemplos de operaciones con funciones derivadas

  • Derivada de la suma de dos funciones: Este resultado se obtiene al sumar las derivadas de las dos funciones. Esta ley se cumple en cualquier número que sea el sumando sin importar que sea negativo o positivo, ejemplo:

La derivada de la siguiente función: y = x4 + 3x2 – 5x+1

Sería: y1 = 4x3 + 6x – 5

  • Derivada de un producto de funciones: En este caso se obtiene el resultado al hacer una combinación de suma y multiplicación de derivadas, por ejemplo:

La derivada de las siguientes funciones: y = (3x4 + 15x) . (4x7 – 3x5)

Sería: y1 = (12x3 + 15) . (4x7 – 3x5) + (3x4 + 15x) . (28x6 – 15x4)

  • Derivada del cociente de funciones: Esta derivada es igual a la derivada que tiene el numerador, por el denominador que está sin derivar, restando el numerador sin derivar y luego multiplicarlo por la derivada del denominador, por último se divide todo entre el denominador que no se ha derivado al cuadrado, ejemplo:

Derivada del cociente de funciones: y= 3x4 – 18

X2 + 5x

Y1 = (12x3) . (x2 + 5x) – (3x4 -18) . (2x + 5) =

(x2 + 5x)2

Ahora que se ha aplicado la fórmula correspondiente se procede a operar y luego reunir en grupos todos los términos que sean semejantes:

= 12x5 + 60x4 – (6x5 + 15x4 – 36x – 90) = 12x5 + 60x4 – 6x5 – 15x4 -+36x + 90 =

X4 + 10x3 + 25x2 X4 + 10x3 + 25x2

= 6x5 + 45x4 + 36x +90

X4 + 10x3 +25x2

  • Derivada de la función exponencial: Es el resultado de la multiplicación de la función por el logaritmo neperiano de la base y luego se vuelve a multiplicar por la derivada del exponente, ejemplo:

Derivada de la función exponencial: f(x) = a u f1(x) = u1 . au . Ina

  • Derivada de una constante: Este resultado siempre va a ser igual a cero, ejemplo:

Derivada de una constante: f (X) = K f1(X) = 0

  • Derivada de X: El resultado siempre será 1 ya que la derivada de la función identidad es la misma que la unidad, ejemplo:

Derivada de X: f (X)=X f1 (X)= 1

  • Derivada de una potencia: las derivadas de la potencia es igual al exponente multiplicado por la base elevada al mismo exponente y luego se resta menos uno y se multiplica por la derivada de la base, ejemplo:

Derivada de una potencia: f (X) =Uk f1 (X) = K . u k-u . u1

  • Derivada de un logaritmo neperiano: Ésta se calcula al dividir la derivada de la función entre la misma función, ejemplo:

Derivada de un logaritmo neperiano: f (X)=In u f1 (X) = u1 / u

  • Derivada de la función logarítmica: En base a es igual a la derivada de la función entre la misma función y luego se multiplica por el logaritmo en base a de e, ejemplo:

Derivada de la función logarítmica: f(X) =Ioga u f1 (X)= u1/u . Ioga e

  • Derivada de las funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas comprenden un grupo de derivadas que son:
  1. Senx = Cosx
  2. Cosx = -senx
  3. Tanx = Sec^2X
  4. CotX = -Csc^2X
  5. SecX = SecX Tanx
  6. CscX = CscX CotX

Ejercicios de cálculo de derivadas resueltos

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